Grupas teorija ir pilnības zinātne. Grupas aksiomas

Grupas teorija – izcila zinātne

Evgenijs Vdovins

  • Ievads
  • Dažas sākotnējās definīcijas un apzīmējumi
  • Grupas aksiomas
  • Grupu piemēri
  • Secinājums

Grupas aksiomas

Šajā sadaļā beidzas teksts, kas nesākas . Nākamās divas rindkopas ir pēdējās rindkopas, kuru lasīšanai nav vajadzīgas īpašas pūles.

Aplūkosim vienu un to pašu apriņķa pilsētas N filmu un domājiet, ka vienā no sesijām skatītāju skatījums bija organizēt biļešu apmaiņu saskaņā ar dažiem noteikumiem. Piemēram, katras rindas pirmā vieta mainās ar otro, trešo ar ceturto un tā tālāk. Tā rezultātā visi paliek vienā pusē "ar savu" – ikvienam ir biļete, no otras puses – ikvienam izdevās mainīt savu vietu. Ja mēs tagad apmainās saskaņā ar kādu citu noteikumu, tad trešais, tad rezultāts – ikvienam ir tieši viens biļete – nemainīsies. Šajā gadījumā izkraušanas secība var mainīties diezgan ievērojami, salīdzinot ar sākotnējo. Tādējādi šādi pārveidojumi ir daudzu vietu simetrija (vai, precīzāk, daudzi skatītāji), un neatkarīgi no tā, cik reižu tos veicam, galvenā iezīme, ka katram skatītājam ir tieši viens biļete, nemainīsies.Ja biļešu apmaiņas secīgu izpildi sauc par "reizināšanu" (lai gan tas ir ļoti tālu no reālās reizināšanas, uz kuru mēs visi esam pieraduši), tad visu apmaļu kopums ar šādu "reizināšanu" veido ļoti svarīgu algebrisko struktūru – grupu. Parasti jebkura grupa ir objekta (komplekta) simetriju kopums, kurā tiek sniegts reizinājums, kā arī tas tika izdarīts ar biļešu apmaiņu – secīgu izpildi.

Tādējādi objekta simetrijas grupa ir lielāka, jo lielāka ir tā simetrija. Atgādinot, ka, jo vairāk simetrijas, jo ideāls ir priekšmets, mēs saprotam, ka simetrijas grupai ir nozīme kāda konkrēta objekta pilnveidošanās pasākumā. Apsveriet regulāras formas plaknē: trīsstūri, kvadrātu, sešstūru un apli. Tās visas ir simetriskas figūras, bet tās ir simetriskas dažādos veidos. Tātad trijstūrim ir tikai sešas simetrijas: rotācija ap masas centru (mediānu krustošanās punkts) leņķī, kas ir 120 grādu (šāds pagrieziens 3) un atspoguļojums attiecībā pret jebkuru tā mediānu (ir arī 3 šādas pārdomas). Kvadrātam jau ir astoņas simetrijas: pagrieziens pa centru (diagonāļu krustošanās punkts) leņķī, kas ir vienāds ar 90 grādiem (jau ir 4 šādi pagriežas)un arī simetrija attiecībā pret jebkuru diagonāli (tās ir divas) un jebkuru taisnu līniju, kas savieno kvadrātveida pretējās puses viduspunktus (ir arī divi no tiem). Sešstūram jau ir 12 simetrijas (mēs piedāvājam lasītājam visus tos uzskaitīt), un simetrijas apli ir bezgalīgs skaits – tas ir pagrieziens jebkurā leņķī un simetrija attiecībā pret jebkuru taisnu līniju, kas iet caur apļa centru. Tādējādi vispiemērotākais skaitlis ir aplis, pēc tam sešstūrains, kam seko kvadrāts, un vismazākais perfekts skaitlis ir trīsstūris.

līdz beigām

Ļaujiet G – patvaļīgs komplekts un pieņem, ka tam tiek dota daži bināri (dubultā, no diviem argumentiem) darbība "·", parasti sauc reizinotkas attiecībā uz diviem elementiem a, b no šī komplekta unikāli asociējas ar tiem elementu, ko apzīmē ar a · b vai vienkārši Ab. Ar šo elementu Ab sauc produktu priekšmetus a un b. Ja ir izpildīti šādi trīs nosacījumi (saukts grupu aksiomas):

(GR1)
par visiem trim a, b, c no G patiesa vienlīdzība (Ab)c = a(bc) (asociatīvās darbības likums);

(GR2)
ir šāds elements eka jebkuram priekšmetam a no G patiesa vienlīdzība ae = ea = a (vienības esamība); šāds elements e sauc par vienu grupas;

(GR3)
par jebkuru priekšmetu a no G ir šāds elements btā ir taisnība Ab = ba = e (reversa esamība); šāds elements b sauc inversais a un to apzīmē ar a-1;

tad daudz G salīdzinot ar reizināšanas darbības veidlapām grupa. Ja tajā pašā laikā tiek izpildīta vēl viena aksioma:

(GR4)
par visiem priekšmetiem a, b no G patiesa vienlīdzība Ab = ba (kommutativitātes likums)

tad grupa tiek izsaukta komutatīvs vai abelian. Zemāk pieminēsim dažādu grupu piemērus, kā arī dabiskās situācijas, kurās grupās parādās. Skaidri piemēri ir veselu skaitļu kopums ar papildinājumu, no nerūsošo racionālo skaitļu kopu ar reizinājumu utt. Mēs atzīmējam vairākas vienkāršas grupas aksiomu sekas: vienības elements un apgrieztais elements ir viennozīmīgi noteikti. Patiešām, pieņemsim, ka ir divi vienības elementi e1, e2, tad aksiomas (GR2) pielietošana dod mums šādu vienādojumu ķēdi e1 = e1e2 = e2. Tāpat, ja kāds elements a ir divi apgriezti b1, b2, tad, izmantojot aksiomas (GR1) – (GR3), iegūstam šādu vienādojumu ķēdi b1 = b1e = b1(Ab2) = (b1a)b2 = eb2 = b2.

Ja M – grupas patvaļīga apakšgrupa Gtad mēs varam uzskatīt komplekta reizināšanas darbību M, kas ir kartēšana: M × MG. Darbība komplektā M mēs piezvanīsim izraisīts operācija. Nodalījums H grupām G sauc apakšgrupaja tā pati ir grupa attiecībā uz izraisīto darbību. Ir viegli pārbaudīt, vai apakšgrupa ir apakšgrupa, ja tā ir slēgta attiecībā uz produktu (t.i., diviem h1, h2 H elements h1 · h2 atkal slēpjas H), un tas ir aizvērts pretējā virzienā (t.i., attiecībā uz jebkuru h H elements h-1 atkal slēpjas H) Īsumā tas ir rakstīts kā HH H un H-1 H. Papildu paziņojums "H ir grupas apakšgrupa G"Mēs īsumā raksināsim šādi HG.

Ļaujiet G ir patvaļīga grupa H – tā apakšgrupa un g – patvaļīgs grupas elements G. Daudz Hg = {hg | h Hsauc blakus klase (labā blakus esošā klase) elements g. Mēs iepazīstinām attiecību g1g2 (mod H) par grupas elementu kopumu G saskaņā ar noteikumu: g1g2 (mod H) tajā un tikai tad, ja Hg1 = Hg2. Apzīmējumu izmantošana, kas ir līdzīga daļiņu attiecībai pret veseliem skaitļiem (skat. Iepriekš), nav nejauša, jo dalāmības attiecība ir īpašs gadījums līdzīgu klašu vienādošanai. Patiesi, kā grupa G komplekts tiek ņemts veseli skaitļi pēc pievienošanas un kā apakšgrupa H tiek izveidota apakškopa k cipari, kas dalās ar k. Ir skaidrs, ka mūsu definētā attiecība ir līdzvērtība, līdzvērtības klašu kopums tiek apzīmēts ar G / Hjauda |G / H| ekvivalences klašu komplektu arī apzīmē kā |G : H| un tiek saukts pēc indeksa apakšgrupas H grupā G. Acīmredzot jebkuram g G taisnīga |Hg| = |Hkur mēs uzreiz saņemam svarīgu Lagrange teorēma: |G| = |G : H| · |H| jo īpaši, apakšgrupas secība vienmēr dala grupas secību.

Uzstādīts G / H Protams, jūs varat definēt reizināšanas darbību: Hg1 · Hg2 : = Hg1 · g2. Lai definīcija būtu pareiza, t.i., ka kopu vienādojums Hg1 · Hg2 = {h1g1 · h2g2 | h1, h2 H} un Hg1 · g2 = {hg1 · g2 | h H}, tas ir nepieciešams un pietiekams, lai kāds g G vienlīdzība tika izpildīta g-1Hg = {g-1hg = h | h H} = H (šis nosacījums mēs sakosimies HG H) Izteiksme g-1Hg sauc konjugācija izmantojot elementu g un bieži tiek apzīmēts Hg. Izteiksme gHg-1 = Hg-1 mēs ierakstīsim gH. Apakšgrupa Hkas atbilst stāvoklim HG Hsauc normāls grupas apakšgrupa G (apzīmēts ar H G), un iegūto grupu G / H sauc faktoru grupa grupām G pēc apakšgrupas H. Parastās apakšgrupas un faktoru grupas jēdzieni teorētiski ir vienas no svarīgākajām grupām, jo ​​tās ļauj daļēji samazināt grupu izpēti mazākām grupām (daļēji, jo saskaņā ar H un G / H grupa G noteikts neskaidri). Tiek saukta grupa, kurā nav parasto apakšgrupu vienkāršs.

Acīmredzot jebkura apakšgrupas krustošanās atkal ir apakšgrupa. Tas mums ļauj noteikt apakšgrupa, kuru ģenerē M, kā mazākā apakšgrupa, kas satur apakškopu Mt.i., visu grupas apakšgrupu krustojums Gkas satur daudz M. Apakšgrupa, kas ģenerēta komplektā Mtiks apzīmēts M. Viegli to pārbaudīt M ir visu veidu elementu produktu komplekts no M un atpakaļ uz tiem. Grupa ģenerē viens elements a sauc ciklisksun viņas rīkojums |a| : = |a| sauc kārtībā elements a. Ir viegli pārbaudīt, vai elementa secība ir mazākais skaitlis. npar kuru ir vienāds e. No Lagranža teorēmas izriet, ka elementa secība vienmēr sadala grupas secību.

Šīs sadaļas beigās mēs prezentējam grupu isomorphism koncepciju. Ja G, H – grupa, tad kartēšana φ : GHSaglabāšanas darbība (t.i., visiem g1, g2 G pabeigts (g1 · g2)φ = g1φ · g2φ) tiek izsaukta homomorphisms, iestatiet Ker (φ) = {g G | = esauc Homomorphisma kodolsun daudzi = { | g Gsauc homomorphisms. Ja Ker (φ) = {e}, un = Ht.i., ja φ ir bijekcija, tad kartēšana φ sauc izomorfismsun grupas G un H izomorfisks (apzīmēts ar G H) Homomorphism teorēma norāda, ka H = Ker (φ) – parastā grupas apakšgrupa G un G / H. Par sevi var uzskatīt par izomorfismu kā tādu divu grupu "līdzību", kuras mēs neuztveram no tām (lai gan patiesībā tās var būt dažādas kopas). Tādējādi teorija, stingri runājot, izskata grupu isomorfismu klases. Ievērojiet, ka ikdienas dzīvē mēs arī bieži izveidojam izomerismus ar vairāk vai mazāk augstu abstrakcijas līmeni. Tā, piemēram, pastāv mēbeļu izomorfisms, ko sauc par "garderobes" jēdzienu, un mēs ar dažiem apzīmējumiem nepārprotami nosaka, vai konkrēts objekts pieder pie "skapjiem" vai ne. Ja mums trūkst tik augsta līmeņa abstrakcijas, mēs nolaisties zemākā līmenī un sākam sadalīt skapjus virtuvē, grāmatā, drēbju skapī ucGrupu isomorfisms jēdziens ir tikai instruments, ar kuru mēs savā abstrakcijas līmenī nošķir vai identificējam objektus.


Like this post? Please share to your friends:
Grupas teorija – izcila zinātne ">
Atbildēt

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: