Grupas teorija ir pilnības zinātne. Dažas sākotnējās definīcijas un apzīmējumi

Grupas teorija – izcila zinātne

Evgenijs Vdovins

  • Ievads
  • Dažas sākotnējās definīcijas un apzīmējumi
  • Grupas aksiomas
  • Grupu piemēri
  • Secinājums

Dažas sākotnējās definīcijas un apzīmējumi

Mēs centīsimies izmantot tik maz formulas un īpašus matemātiskos simbolus, cik vien iespējams, bet mēs nevaram iztikt bez tiem pilnīgi. Parasti komplekti tiek apzīmēti ar lielajiem latīņu burtiem, un to elementi – mazie. Ja A – daudzi, un a – daži elementi, tad ierakstīt a A vajadzētu izlasīt "elements" a pieder daudziem A"; attiecīgi ieraksts a A nozīmē "elements" a nepieder komplektam A“.

Atcerieties, ka kompleksa, elementa un dalības jēdzieni ir nesaprotami mūsdienu matemātikas jēdzieni. Jebkuru komplektu nosaka tā elementi (kas, savukārt, var būt arī komplekti). Tāpēc mēs sakām, ka komplekts tiek noteikts vai iestatītja jebkuram elementam mēs varam teikt, vai tas pieder šim komplektam, vai nē. Diviem komplektiem A, B ieraksti B A, B A, BA, B A, B \ A, A × B attiecīgi nozīmē B ir komplekta apakškopa A (t.i., jebkurš vienums no B arī iekļauts Apiemēram, dabisko skaitļu kopums ir ietverts reālo skaitļu komplektā; turklāt vienmēr A A), B ir pareiza komplekta apakškopa A (t.i. B A un BA), komplektu krustojums B un A (t.i., visi elementi, kas vienlaicīgi atrodas Aun iekšā B, piemēram, vesels skaitļu un pozitīvu reālo skaitļu krustpunkts ir dabisko skaitļu kopums), kopu apvienojums B un A (t.i., komplekts, kas sastāv no elementiem, kas atrodas vai nu Avai nu B), nosaka starpību B un A (t.i., elementi, kas atrodas iekšā Bbet ne meli A), Dekarta produkta komplekts A un B (t.i., formas pāri (a, b) kur a A, b B) Caur |A| vienmēr apzīmēts jauda komplekti At.i., elementu skaits komplektā A. Definīcijas vienmēr tiek iezīmētas. kursīvā.

Mēs nevaram iztikt bez kartēšanas, attiecību un ekvivalences koncepcijām. Mēs nesniegsim stingras loģiskas šo jēdzienu definīcijas, mēs tos izskaidrosim tikai. Kartēšana var uzskatīt par funkciju, kas apvieno vienu elementu (sauc prototips) daži citi elementi (saukti veids) Dzīvē mēs pastāvīgi saskaramies ar ekrāna parādīšanos, piemēram, iegādājoties teātra biļeti, mēs tādējādi izveidojam displeju starp biļeti un kādu vietu teātra zālē. Kad mēs saņemam algu, mēs izveidojam kartēšanu starp mēnesī paveikto darbu un naudu, kas par to tiks samaksāta. Izpētot futbola komandu spēlētāju sarakstus, mēs izveidojam kartēšanu starp spēlētājiem un komandām, par kurām viņi spēlē. Tātad, ir ļoti daudz mapju, gandrīz viss mūsu dzīvē ir vienā vai otrā veidā. Pastāv dažāda veida īpašie kartējumi, tad tekstā tiks izmantoti šādi 3 veidi: injekcijas kartēšana (injekcija), subjektīva kartēšana (siešana) un bijušais kartēšana (bijection) Injekcijas kartēšana ir kartēšana, kas attēlo dažādus attēlus ar dažādiem avota elementiem. Sjierģinālais kartēšana ir kartēšana, kurā katram attēlam ir prototips. Visbeidzot, bijušais kartēšana ir kartografēšana, kas ir gan injekcijas, gan subjektīva.

Izskaidrojiet šos jēdzienus, piemēru, kartē starp daudzām biļetēm un daudzām vietām teātrī.Iedomājieties kino apgabala pilsētā N, kurā Shield and Sword ej tūkstoš reižu. Protams, ir tikai daži, kas to vēlas redzēt, un ir tikai viens pāris, kurš divās biļetēs saņem "Kiss Line". Kad viņi ieradušies kinoteātrī, pāris pēc viņu prieka apzinās, ka viņi šeit ir vieni, bet kā izglītoti cilvēki viņi ņem biļetēs norādītās vietas. Šajā gadījumā, protams, kartēšana ir injekcijas, jo dažādas biļetes atbilst dažādām vietām. Bet tas nav domājošs, jo mums joprojām ir daudz tukšas vietas, par kurām nav pārdots neviens biļete. Tādējādi kinematogrāfijas pārvaldībai acīmredzami nerentabla ir ne-subjektīva kartēšana.

Iedomājieties, ka nākamajā dienā vienā un tajā pašā pilsētas kinoteātrī viņi apsolīja sākt jaunu Tarantino fokusmu un mājienu, ka Tarantīns pats atbildēs uz jautājumiem pēc filmas. Protams, ka biļešu kasēs ir daudz cilvēku, un vadība "pa kļūdām" pārdod divus biļešu komplektus vienā un tajā pašā vietā. Mēs neaprakstīsim šeit izjaukšanu vienas vietas dēļ, kas notika sesijā; mēs tikai atzīmējam, ka displejs tagad ir surjective, jo biļete tika pārdota katrai vietai, taču tā nav injekcija, jo katrai vietai ir divas biļetes.Tādējādi neinjekcijas kartēšana tiešā veidā ir pretrunā ar patērētāju tiesībām un, iespējams, ietilpst kādā likuma "Par patērētāju tiesību aizsardzību" pantā.

Nu, pēdējā gadījumā aplūkojiet to pašu kino N pilsētas priekšvakarā 2006. gada 1. janvārī. Plaši publiskotais pirmā gada filma atkal izraisa publisku agiotage, taču tagad vadība, ko māca iepriekšējā rūgta pieredze, rūpīgi nodrošina, ka katrai sesijai tiek pārdots tieši viens biļešu komplekts. Rezultātā katrs skatītājs mierīgi aizņem vietu, un katra sesija sākas ar pilnu māju. Tādējādi šis pēdējais piemērs ir gan injekcijas, gan arī subjektīvas pārdomas, tas ir, bijekcija. Līdz ar to, bijekcija ir zelta vidusne, kas ir pēc iespējas izdevīgāka direktorātam un tajā pašā laikā, cik vien iespējams, auditorijai. Šī bijekcijas koncepcija ir bijusi intuitīvās simetrijas koncepcijas matemātiska formalizācija, kas tika apskatīta ievadā. Tāpēc nav pārsteidzoši, ka šajā gadījumā tas ir vispiemērotākais attēlojums.

Kartēšana no komplekta A komplektā B zvaniet dažiem noteikumiem, izmantojot kuru, katrs no A jūs varat saskaņot vienu vienumu no B. Zīmējumi, kurus mēs parasti raksturojam grieķu valodā un rakstām φ : ABun jebkura elementa tēlu a A salīdzinot ar displeju φ tiek reģistrēts . Šāds ieraksts vispirms ir neparasts un neērts tiem, kas tiek izmantoti rakstīšanas funkciju veikšanai (īpašs mapējumu piemērs) kā φ(a), bet mūsu prezentācijai tas būs ērtāk. Ja ir 3 komplekti A, B, C un ņemot vērā kartējumus φ : AB un ψ : BCtad jūs varat veidot kartēšanu φψ : ACsastāvs (secīgas izpildes) mapes φ un ψ. Ņemiet vērā, ka, ja mēs ierakstāmies displejā kreisajā pusē, kompozīciju φψ mums vajadzētu lasīt no labās puses uz kreiso, arābu valodā. Nākotnē mums būs nepieciešami šādi īpašie kartes veidi: injekcija (displejs φ : AB saukts injekcijas gadījumā, ja tas ir atšķirīgs x, y A priekšmetus , arī atšķiras) siešana (displejs φ : AB saukts surjective, ja kāds y B tāds ir x Aka = y), bijection (vienlaikus injicējot un sasitot). Piemēri, kartogrāfijas no racionāliem skaitļiem uz racionāliem var būt attēlojumi: xx3, xx2, xx/ 2. Pirmais ir injekcijas, bet ne surjective, otrais nav ne subjektīvs, ne injektīvs, trešais ir bijekcija.

Vēl viens svarīgs matemātikas jēdziens ir jēdziens attiecības. Attieksmi var uzskatīt par noteiktu principu, kas jebkuram diviem elementiem (priekšmetiem, lietām, dzīvām būtnēm utt.) Ļauj noteikt, vai tie ir šajā sakarā, vai ne. Mūsu dzīvē mēs nepārtraukti ienācam un ļoti neviļus daudzās dažādās attiecībās. Piemēram, saistībā ar radniecību (ar atšķirīgu pakāpes tuvumu), darbinieku-darba devēju attieksme, autovadītāja-pasažiera, pārdevēja-pircēja attiecības utt. Visas šīs attiecības ir atšķirīgas, atšķirīgas, un matemātika precīzi pētījusi attiecību īpašības, nevis rūpējoties par savu dabu.

Mēs sakām, ka daži komplekti A iestatīt R attiecībaja attiecībā uz diviem elementiem a, b no A mēs varam pateikt, vai tie ir saistīti R vai ne. Citiem vārdiem sakot, attieksme R ir kartēšana R : A × A → {1, 0}, kur vērtība 1 atbilst "true", un vērtība 0 – "false" (ievērojiet, ka kārtībā, kādā elementi tiek ņemti, ir svarīga a un b)Parasti, lai apzīmētu attiecības, mēs izmantosim īpašās rakstzīmes attiecības, ~, utt Attiecības ir ērti rakstīts kā a ~ bja a un b ir saistīti R un a bja a un b nav attiecībās R. Attiecības ~ uz komplekti A sauc ar līdzvērtībuja ir izpildītas šādas aksiomas:

(ECB1)
par jebkuru a A pabeigts a ~ a (refleksivitātes aksioma);

(ECB2)
par jebkuru a, b no A no a ~ b seko b ~ a (simetrijas aksioma);

(ECB3)
par jebkuru a, b, c no A no a ~ b un b ~ c seko a ~ c (transitīvas aksioma).

Attiecību piemēri ir rindu attiecība uz reālo skaitļu kopu, dalījuma attiecība uz veselu skaitļu kopu, vienlīdzības attiecība uz reālo skaitļu kopu, atlikumu vienlīdzības attiecība no dalījuma ar fiksētu dabisko skaitli uz dabisko skaitļu kopas. Ņemiet vērā, ka pirmās divas attiecības nav ekvivalences, un pēdējās divas ir. Pēdējai attiecībai ir īpašs nosaukums: veseli skaitļi m, n tiek saukti salīdzināms modulis k (rakstīts kā mn (mod k)) ja nm dalīts ar k.

Ja uz komplekta A ņemot vērā ekvivalences attiecību ~, tad viss komplekts sadalās līdzvērtības klases – pāru ekvivalentu elementu apakškopas, un jebkuras divas klases ne krustojas vai nesakrīt. Patiešām, pieņemsim C1, C2 – divas līdzvērtības klases un to krustojums C1C2 nav tukšs un satur kādu elementu x. Tad jebkuram elementam y C1, pēc atbilstības klases definīcijas ir izpildīts x ~ y. Papildus jebkuram z C2, atkal pēc līdzvērtības klases definīcijas, apmierināts z ~ x. Ņemot vērā transitizitātes aksiomu (nosacījums (EKV3)), mēs iegūstam to y ~ znozīmē C1 = C2. Komplekta klases komplekts A ar ekvivalenci ~, ko apzīmē ar A / ~.


Like this post? Please share to your friends:
Grupas teorija – izcila zinātne ">
Atbildēt

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: