Grupas teorija ir pilnības zinātne. Grupu piemēri

Grupas teorija – izcila zinātne

Evgenijs Vdovins

  • Ievads
  • Dažas sākotnējās definīcijas un apzīmējumi
  • Grupas aksiomas
  • Grupu piemēri
  • Secinājums

Grupu piemēri

Piemēri grupām, kas mums zināmas no pamatskolas, ir veseli skaitļi, racionāli, reāli, sarežģīti skaitļi, pievienojot, racionālus, reālus, sarežģītus skaitļus ar reizinājumu. Visas šīs grupas ir abelian. Vēl viens svarīgs grupu piemērs ir šāda konstrukcija. Ļaujiet X – patvaļīgs komplekts un simbolsX – visdažādākā komplekta bijekācija X par sevi. Iestatiet reizinājumu ar SymX kā kompozīcija. Tad simX attiecībā uz kompozīcijas darbību ir grupa, un to sauc simetriskā grupa komplektā X vai aizvietošanas grupa (dažreiz tiek izmantota arī permutācijas grupa, taču mums šķiet neveiksmīga, vairāk par to zemāk). Ja daudzi X protams un |X| = ntad mēs varam pieņemt, ka X = {1, … , n} un simX apzīmē simn. Ja Ψ ir sakopojumu īpašums, kas tiek saglabāts kompozīcijas laikā, tad apzīmējumu apakškopa, kas atbilst Sym grupas Ψ īpašībāmX veido sim grupas grupas apakšgrupuX. Mēs parādām, ka sakritības sastāvs atbilst asociatīvās aksiomas (GR1) (citu aksiomu pārbaude ir daudz vienkāršāka, tie izriet no bijušas definīcijas).Lai pierādītu, ka kartes sastāvs ir asociatīvs, vispirms ir jāsaprot, kad kartes ir vienādas. Neskatoties uz acīmredzamo definīciju, tas bieži rada grūtības. Plakāti φ : AB un ψ : AB (kur A, B – patvaļīgi komplekti) ir vienādi, ja kāds x A viņa attēlus un ir vienādi. Tagad ļaujiet φ, ψ, χ SimsX un x X. Tad x((φψ)χ) = (x(φψ))χ = (()ψ)χno otras puses x(φ(ψχ)) = ()(ψχ) = (()ψ)χkas pierāda sastāva asociāciju.

Šis piemērs ne tikai ļauj jums izveidot lielu skaitu dažādu grupu (mēs redzēsim, ka visas grupas zemāk), bet arī parāda plašu grupu teorijas pielietojumu klāstu. Ja vien ir vismaz kāda simetrija (tas ir, bijekcija), grupas uzreiz rodas. Būvniecības problēmas ar kompasu un lineālu palīdzību, algebrisko vienādojumu atrisināmība radikāļos, primitīvu diferenciālvienādojumi utt., Protams, tiek samazinātas līdz grupu teorijas problēmām. Dažādas kombinatoriskās problēmas tiek samazinātas līdz objektu skaitīšanai, kas atbilst noteiktām īpašībām, un atkal grupu teorijai.

Ja G – grupa X – noteikt un dot homomorphism φ : G → simXtad saki grupu G darbojas uz komplekta X. Ja Ker (φ) = {e}, darbība tiek izsaukta precīza. Lai atvieglotu apzīmējumu, mēs identificējam g ar savu tēlu un patvaļīgi x X viņa tēls ir relatīvi ierakstīs xg. Mēs ieviešam ekvivalences attiecību ~ X saskaņā ar likumu: elementi x, y X ir līdzvērtīgi, ja tāds ir g Gka xg = y. Tiek sauktas līdzvērtības klases orbītas grupām G. Tiek teikts, ka grupa G darbojas transitively (un prezentācija ir transitive), ja ir tikai viena orbītā. Homomorfisms φ : G → simX sauc aizstājējzīmju attēlojums grupām G (tieši termina "permutation representation" dēļ termins "permutation group" tiek uzskatīts par neveiksmīgu, jo terminam "permutation representation" ir atšķirīga nozīme). Ja Ker (φ) = {e}, tiek parādīta prezentācija precīza.

Apsveriet tagad patvaļīgu grupu. G un tā apakšgrupa H. Grupa G darbojas apakšgrupas blakus esošo klašu kopumā H reizinot pa labi: (Hg1)g2 = H(g1g2) Tādējādi ir pārejošs attēlojums φ : G → simG / H. Ja H nesatur parastu grupas apakšgrupu Gtad šī prezentācija ir precīza. Jo īpaši, ja H = {ešī prezentācija G → simG/ % = SimG vienmēr ir precīza un izsaukta regulāri grupas prezentācija G. Tādējādi jebkuru grupu var uzskatīt par aizstāšanas grupu. Izrādās, ka jebkura grupas pārejoša reprezentācija G var iegūt šādā veidā.


Lai saprastu šādu tekstu, jums jāzina augstskolas algebras kurss

Turpmākais grupu piemērs rodas no vektoru laukiem. Ļaujiet V – vektora laukums virs lauka F (Es nesniedzu vektora telpas un lauka definīciju, vektora lauka piemērs ir plakne, un lauka piemērs ir racionālu skaitļu kopums attiecībā uz pievienošanu un reizināšanu). Nepārdzimušo lineāru transformāciju kopums vektora laukumā V veido grupu un tiek saukta vispārējā lineārā grupa (apzīmēts ar GL (V)). Ir viegli pārbaudīt vienas un tās pašas dimensijas vektoru atstarpes n virs tā paša lauka ir izomorfisks garuma virkņu telpai n, un nepārdzerināto lineāro transformāciju kopums sakrīt ar nenogenerētu matricu kopu. Šajā gadījumā vispārējā lineārā grupa tiek ierakstīta kā GLn(F)Faktiski šis piemērs nav, protams, jauns, jo GL (V) ≤ SymV. Tomēr šī grupas klase ir svarīga, jo tā ir izvēlēta atsevišķā piemērā. Homomorfisms φ : G → GLn(F) tiek izsaukta lineārais attēlojums grupām G virs lauka F grādi nun telpa V sauc G-modulis. Ievadā minētā lodziņa simetrijas grupa sakrīt ar visu trīsdimensiju telpas lineārās transformācijas grupu, kas saglabā vektoru garumu, ko sauc par kopīga ortogonāla grupa.


Trešais grupas piemērs rodas šādi. Ļaujiet X = {x1, x2, …} ir kāds alfabēts (ierobežots vai bezgalīgs). Piepildīsimies ar formālajiem simboliem. X-1 = {x1-1, x2-1, …} un apsveriet vārdu kopu alfabētā X X-1. Mēs ieviešam transformācijas:

(1)
rakstzīmju dzēšana xixi-1 vai xi-1xi;

(2)
pievienot vietai vārdus vārdus xixi-1 vai xi-1xi.

Divi vārdi tu, v mēs saucam par ekvivalentu, ja ir virkne transformāciju tipa (1) vai (2), kas pārveido vienu vārdu citā. Uz ekvivalences klašu kopu mēs definējam reizināšanas darbību, piešķirot vienu vārdu otrā galā. Tad mēs saemam grupu bezmaksas grupa un apzīmēts ar F[X], un tiek saukti šīs grupas elementi vārdos. Šīs konstrukcijas universālums padara brīvas grupas neaizstājamas formālo valodu (piemēram, programmēšanas valodu) apgūšanai, kā arī dažādus citus uzdevumus no kodēšanas teorijas, atzīšanas utt. Termins "bezmaksas" ir saistīts ar faktu, ka, ja mums ir patvaļīga grupa G un tā ir tāda apakškopa Mka M = Gtad mēs varam apsvērt daudzus vārdus X ar nosacījumu |X| = |M| un tad ir homomorfisms φ : F[X] → G. Homomorphisma Ker kodola (φ), ko rada daži vārdu kopumi R un grupu ierakstu GG = < X|R > aicināja grupas uzdevums, kas definē un rada attiecības. Varbūt tas ir visvairāk abstraktais veids, kā piešķirt grupu, un tāpēc visgrūtāk. Mēs nepiedāvājam šeit šādā veidā definētu grupu piemērus.


Like this post? Please share to your friends:
Grupas teorija – izcila zinātne ">
Atbildēt

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: