"Cietie" slīpumi • Khaidars Nurligarejevs • Populāras zinātnes uzdevumi "Elementos" • Matemātika

“Hard” tilings

Uzdevums

Plakni ir viegli flīzes ar identiskām trīsstūra flīzēm (1. att., Pa kreisi). Šāda shēma ir piemērota jebkuram trijstūrim. Mēs varam teikt, ka šī flīze ir "neuzstādīta" tādā ziņā, ka, ja mēs nedaudz mainīsim trijstūru proporcijas (tām joprojām jābūt vienādām), tad atkal iegūstam plaknes flīžu saskaņā ar šo shēmu (1. att., Pa labi).

Zīm. 1

Bet tas notiek citādi. Paskaties pic. 2: šeit arī visi trīsstūra punkti ir vienādi, bet šī shēma darbojas tikai pilnīgi specifiskām trijstūru proporcijām. Varam teikt, ka šāds slīpums ir "grūti".

Zīm. 2

a) Pieņemot, ka visi trijstūri attēlā. 2 ir vienādi atrast to leņķi un malu attiecības. Pierādiet toka no skaitļa tie ir noteikti viennozīmīgi.

b) Nāc ar vienāda izliekta četrstūra ķieģeļu "grūti".

c) Nāc ar vienlīdzīgu pentagonu "grūti" dēļi (ne vienmēr izliekti).


1. padoms

a) Lai iegūtu nosacījumu, ka trīsstūra leņķi ir jāatbilst, pietiek izmantot faktu, ka leņķu summa, kas atrodas blakus katram virsotnei, ir 360 °. Un, lai meklētu apstākļus uz sāniem, ir lietderīgi apsvērt segmentus, ko veido vairāku blakus esošo trijstūru malas.

Ņemiet vērā, ka leņķi un malas nevar mainīt neatkarīgi viens no otra, tie ir savstarpēji saistīti. Turklāt saikne starp leņķiem un malu attiecībām ir viens pret vienu. Faktiski, zinot malu attiecību, jūs varat noteikt leņķu vērtības, izmantojot cosinus teorēmu. Un, zinot leņķus, jūs varat atrast formāta attiecību ar sine teorēmu. Tādējādi, lai atrisinātu problēmu, ir pietiekami atrast tikai divus vienādojumus no sāniem vai leņķiem.


2. padoms

b), c) Pamatideja ir šāda. Lai flīzēšana būtu "grūts", tās pašas flīzes kopijām, kas to ievieto, ir savstarpēji jāsaskaras pēc iespējas vairāk. Tad katra šāda metode sniegs kādu leņķu un malu vienādojumu, un jo vairāk vienādojumu – mazāk brīvības pakāpju.

Ir vairāki veidi, kā mēģināt izveidot šādu flīzi, kuru kopijas var tikt izmantotas viena otrai dažādos veidos. Viens no tiem ir uzlikt dažus raksturīgus ierobežojumus flīžu. Piemēram, meklējiet to poligonu klasē ar paralēlām malām. Vai starp flīzes, kuras puses ir vienādas. Tāpat var būt lietderīgi aplūkot leņķus, kas sadalās 360 ° un ir daudzkārtīgi.

Cits iespējamais veids ir mēģināt izmantot jau pazīstamos slīprakstus, piemēram, kā parādīts attēlā. 3. Tad jums jācenšas izveidot jaunu flīžu no vairākām flīzes vai flīžu gabaliem, kas ir iekļauti oriģinālajā segumā. Un tikai pēc tam no iegūtās flīžu kopijām, lai noteiktu "cieto" bruģi, kontūrās, par kuriem tiks uzminēts sākotnējais bruģis.

Zīm. 3


Šķīdums

a) Apzīmējiet trīsstūrveida flīžu sānus un stūrus, kā parādīts kreisajā attēlā. 4. Tad, ņemot vērā segmentu, ko veido četru trijstūru malas (vidū ​​4. attēlā), mēs varam iegūt attiecību pret malām: a + c = 2b. Un, skatoties augšā, kurā saplūst trīs trijstūri (4. attēlā pa labi), mēs saprotam, ka 2γ = 180 °. Tādējādi γ = 90 °, tas ir, trīsstūris ir taisnstūrveida. Tādējādi tas atbilst Pitagora teorēmai: \ (a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2. \)

Zīm. 4

Tagad, lai atrastu vēlamās attiecības, ir diezgan vienkārši aprēķini:

\ [(a + c) ^ 2 = 4b ^ 2 = 4 (c-a) (c + a). \]

No šejienes mēs saņemam

\ {(a + c) = 4 (ca) \ quad \ Rightarrow \ quad \ dfrac % % = \ dfrac % % \ quad \ Rightarrow \ quad \ dfrac % % = \ dfrac % %. \]

Attiecīgi trīsstūra leņķi ir vienādi \ (\ alpha = \ arcsin \ dfrac % % = \ arcsin \ dfrac % %, \) \ (\ beta = \ arcsin \ dfrac % % = \ arcsin \ dfrac % %, \) \ (\ gamma = 90 ^ (\ circ). \)

b) Apsveriet taisnstūra trapecveida, kas sastāv no kvadrātveida un labā trīsstūra, kas ir vienāds ar pusi no šī kvadrāta (5. attēls, pa kreisi). Šīs trapeces eksemplārus var pievienot daudziem dažādiem veidiem.Tā kā mēs gribam, lai izveidotais segums būtu "grūts", lai sāktu, mums ir jāizdara tādas konfigurācijas no norādītajām trapecveida flīzēm, kas nepārprotami definēs sānu un trapeces leņķu attiecības. To ir viegli sasniegt. Piemēram, apkopojot četru flīžu figūru figūras. 5, mēs sasniegsim vienādojumu γ = δ = 90 ° un, veicot krustu no astoņām flīzēm, iegūstam stāvokli α = 45 °. Ja no trim flīzēm savākt skaitli, kas parādīts attēlā. 5 pa labi, tad vienlīdzība 2a = b.

Zīm. 5

Acīmredzot, ja četrstūris atbilst iepriekšminētajiem četriem vienādojumiem, tad tas noteikti ir mūsu taisnstūra trapecveida. Tādēļ jebkurš mūrēšana, kurā ir sastopamas visas iepriekšminētās konfigurācijas, noteikti izrādīsies "grūts" tādā nozīmē, ka saskaņā ar to pašu shēmu no citiem ceturtdaļām nevarēs salocīt dakstiņus. Ir neskaitāmi līdzīgi slīpumi; Piemēram, tas ir attēlojums, kas parādīts attēlā. 6

Zīm. 6

Ņemiet vērā, ka, lai arī flīzes, kas parādītas attēlā. 6 saskaņā ar mūsu "grūti" definīciju, tas ir viegli pakļauts deformācijai: jūs varat brīvi pārvietot flīzes,kas atrodas tajā pašā horizontālā vai vertikālā rindā pa atbilstošo taisni. To var novērst, pievienojot tos citā veidā. Piemēram, kā parādīts attēlā. 7

Zīm. 7

c) Attēlā redzamo tiltingu sirdī. 6 un fig. 7, jūs varat uzminēt standarta parketa kvadrātu (3. att., Pa labi). Mēs parādīsim, kā līdzīgi var iegūt nekonverciju pentagonu "cieto attēlu", izmantojot pamatu (3. att., Pa kreisi), izmantojot flīzes ar regulāriem trīsstūriem. Lai to izdarītu, ņem divus regulārus trīsstūrus un vēl divas šādas trīsstūra daļas (8. att., Pa kreisi).

Zīm. 8

Tāpat kā iepriekšējā punktā, vispirms mēs precizējam četras konfigurācijas, kas definē flīzes, kuras izskatām vienīgi. Tie ir parādīti attēlā. 8. Pirmais no tiem nosaka leņķi ε = 90 °. Otrais ļauj jums rakstīt attiecību 3γ + 2ε = 360 °, un tā kā leņķis ε jau ir fiksēts, iegūstam γ = 60 °. Tāpat arī trešā konfigurācija dod vienādību α + γ + 3ε = 360 °, no kā α = 30 °. Visbeidzot, pēdējā konfigurācija ļauj mums saprast, ka β + 2γ = 360 °, tas ir, β = 240 °. Attiecībā uz leņķi δ, to nosaka, pamatojoties uz faktu, ka pentagonu leņķu summa ir 540 ° un δ = 120 °.

Zīm. 9

Izrādās, ka tikai konfigurācija, kas parādīta vidū zīm. 8, pietiek vienlīdzībai b = e = a = d. Tāpēc četras iepriekšminētās konfigurācijas patiešām viennozīmīgi definē piecusstūris flīzes. Tādējādi ir vēl viens piemērs par dakstiņu, kas ietver visus no tiem. Konstruējot to, ideja par sloksņu konstruēšanu palīdz: pirmkārt, ar mūsu flīžu kopijām mēs ģenerējam bezgalīgu sloksni, ko var pielietot sevī (9. att.). Un tad mēs pārklājam visu plakni ar šādām svītrām (10. att.). Mēs atzīmējam sloksnes dizaina idejas plašo pielietojamību: līdzīgai "svītrainām" struktūrai ir abi slīpmašīnas, ko mēs izveidojām, spriežot punktu b)un, vispārīgi, ikviens periodiskais segums faktiski sastāv no joslām. Tomēr lieta nav ierobežota ar periodiskām svārstībām (kā to var redzēt, piemēram, Polamimina Parqueta problēma).

Zīm. 10

Mūsu piemērā flīze nav izliekta, bet tas nav absolūti nepieciešams priekšnosacījums, lai radītu "cieto segumu". Apsveriet attēlā redzamo pentagonu flīzes. 11 – tas sastāv no kvadrāta un diviem taisniem trijstūriem ar mazāku leņķi 22,5 °.Izrādās, ka šādas flīžu kopijas var arī izstiept "cietā veidā" plaknē, kā parādīts pa labi attēlā. 11. Patiesi, tas ir nedaudz grūtāk pierādīt, nekā to, ka agrāk mēs saskārāmies ar slīpumu stingrību. Tomēr ļaujiet mums izklāstīt galvenos šī pierādījuma punktus.

Zīm. 11

Pirmkārt, no shēmas, saskaņā ar kuru flīzes ir sakrautas, ir skaidrs, ka puses apmierina attiecības a = e = b un c = b + d. Attiecībā uz stūriem uz tiem var sastādīt četrus vienādojumus, no kuriem ir skaidrs, ka α = γ, δ = ε, β + δ = 180 ° un β + 180 ° = 2γ. Tāpēc, ievadot leņķi φ = δ / 2, mēs varam izteikt pārējos leņķus caur to:

\ [\ alpha = 180 ^ (\ circ) – \ varphi, \ quad \ beta = 180 ^ (\ circ) -2 \ varphi, \ quad \ gamma = 180 ^ (\ circ) – \ varphi, \ quad \ delta = 2 \ varphi, \ quad \ varepsilon = 2 \ varphi. \]

Tagad galvenā ideja ir šāda. Lai flīzēm būtu "grūts", ir nepieciešams, lai viņam trūkst brīvības pakāpju. Pašlaik mūsu flīzēm ir divi parametri, kurus varam mainīt: leņķis φ un malu attiecība a un d. Tomēr šīs izmaiņas nevar būt patvaļīgas, jo parametri ir savstarpēji saistīti. Ja pēc šī savienojuma raksturojuma analīzes mēs parādīsim, ka šai shēmai tiek izmantots tikai ierobežots skaits iespējamo leņķu un malu attiecību, tad tas nekavējoties seko tam, ka vēlamās flīzes ir "grūti".

Mēs ieviešam apzīmējumu, kā parādīts attēlā apakšējā kreisajā pusē. 11. Jo CDEF – vienādmalu trapezīns, tad bāze

\ (CF = a-2a \ cos2 \ varphi = a (3-4 \ cos ^ 2 \ varphi) \).

Tāpēc mēs varam atrast segmentu attiecību a un dizteikt segmentu Bf koledža teorēma trijstūros ABF un CBF:

\ [BF ^ 2 = d ^ 2 + d ^ 2-2d ^ 2 \ cos (180 ^ (\ circ) – \ varphi) = a ^ 2 + a ^ 2 (3-4 \ cos ^ 2 \ varphi) ^ 2-2a ^ 2 (3-4 \ cos ^ 2 \ varphi) \ cos \ varphi. \]

Pārveidojot, mēs iegūstam

\ [\ dfrac {d ^ 2} {a ^ 2} = 5-8 \ cos \ varphi-4 \ cos ^ 2 \ varphi + 8 \ cos ^ 3 \ varphi. \]

No otras puses, mēs varam atrast segmentu attiecību a un dizteikt segmentu AC koledža teorēma trijstūros ABC un AFC:

\ [AC ^ 2 = a ^ 2 + d ^ 2-2ad \ cos (180 ^ (\ circ) -2 \ varphi) = \ = d ^ 2 + a ^ 2 (3-4 \ cos ^ 2 \ varphi ) ^ 2-2ad (3-4 \ cos ^ 2 \ varphi) \ cos2 \ varphi. \]

Ja \ (\ cos2 \ varphi \ ne0 \), tas ir, ja pentagons atšķiras no mūsu, mēs nonākam pie šādas vienādības:

\ [\ dfrac % % = \ dfrac {2 (\ cos ^ 2 \ varphi-1)} {2 \ cos ^ 2 \ varphi-1} = – \ dfrac {2 \ sin ^ 2 \ varphi} {\ cos2 \ varphi}. \]

Jo īpaši no šeit redzams, ka tas ir iespējams tikai ar \ (\ cos2 \ varphi <0 \), un

\ [5-8 \ cos \ varphi-4 \ cos ^ 2 \ varphi + 8 \ cos ^ 3 \ varphi = \ dfrac {4 (\ cos ^ 2 \ varphi-1) ^ 2} {(2 \ cos ^ 2 \ varphi-1) ^ 2}. \]

Pēdējam vienādojumam var būt tikai ierobežots skaits risinājumu. Tādējādi attiecīgais segums ir "grūti".


Pēcvārds

Visi pagriezieni, kas tika apspriesti iepriekš kā daļa no šī uzdevuma, pamatā tika izmantoti vienotā daudzstūra flīzē. Mēs to nokopējām un pēc tam pārklājām visu plakni ar kopijām bez atstarpēm un pārklājumiem. Šādi tilings tiek saukti monohedralun pamatā esošais daudzstūris ir protoplitka. Kā redzējām, neraugoties uz aizliegumu izmantot dažāda veida flīzes, iegūtie attēli bija ļoti dažādi. Daudzos gadījumos šī protoplīta tilting izrādās bezgalīgi daudzi, turklāt viņu neskaitāmie skaitļi. Tajā pašā laikā, citiem protopliešiem (kā, teiksim, par regulāru sešstūru), dakstiņi ir unikāli, un daži protoplīti vispār nepieļauj flīžu ieklāšanu.

Būtu dabiski jautāt, kā ar konkrētā daudzstūra formu saprast, vai ir iespējams plakne ar kopijām flīžu klāstu. Tomēr algoritms, kas ļautu atbildēt uz šo jautājumu, saņemot flīžu pie ieejas, un izejas, kas ir devis rezultātu "jā" vai "nē", nav zināms cilvēcei. Turklāt ir nopietni iemesli apšaubīt, ka tā pastāv principā. Mēs īsi apspriedīsimies, kas varētu traucēt to. Šim nolūkam būs lietderīgi vismaz virspusēji iepazīties ar slīpēšanas simetrijas grupu.

Simetrija Šo dakstiņu sauc par plaknes kustību, kas to pārveido par sevi. Aptuveni runājot, ja paskatījās uz pagriezienu uz ilgu laiku, tad pagriezās prom,bet kāds aiz muguras pārvietoja visas flīzes, lai, pirmkārt, saglabātu attālumus starp flīzēm un, otrkārt, jūs apgrieztos un jūs nevarat atrast atšķirību – tas ir simetrisks. Ja starp visām dakstiņu simetrīcēm ir divi neparedzēti paralēlie tulkojumi, tad šo dakstiņu sauc periodiski. Piemēram, tilpumi, kas parādīti fig. 6, 7, 10 un 11, un patiesībā visi tilings, ko mēs līdz šim apspriežam. Tomēr visos šajos piemēros ir viegli pārkārtot flīzes tā, ka šis īpašums vairs nav derīgs.

Periodiskus slīpumus raksturo tā saukto klātbūtne pamatjautājums – tāda flīžu apakškopu, ka visu segumu var iegūt, paralēli pārraidot šo apakškopu (šīs ir tikai mūsu "joslas", kas tika minētas lēmumā). Tādēļ, cenšoties atbildēt uz jautājumu, vai ir iespējams visu lidmašīnu sagatavot ar šā protoplicas eksemplāriem, ir diezgan dabiski rīkoties šādi. Ir nepieciešams iziet cauri visām iespējamām iespējām, savienojot flīzes ar otru, un, ja kādā brīdī radās pamatjēdziens, tad ir dakstiņi.Un, ja mēs uzskaitīsim visas iespējas, bet mēs neatradīsim pamatjēdzienu, tad šī proto-flīze neļauj flīzēm.

Tomēr šai meklēšanas metodei ir ievērojams trūkums. Pēkšņi izrādījās mūsu protoplicas aperiodisks, tas ir, visu plakni ir iespiests ar tā kopijām, bet visi šie slīpumi ir neperiodiski? Tad visi veidi, kā pievienoties flīzēm kopā, mēs nekad neizdosim, jo ​​tie var aptvert gabalu patvarīgi liela izmēra. Bet mēs arī nevarēsim atrast pamatstratēģiju, jo periodiski nav novirzīti. Tātad mēs pārietam uz bezgalības iespējām un nekad nebeigsimies.

Neatkarīgi no tā, vai ir aperiodiskie protoplīti, šobrīd tas nav zināms – šis fakts tiek postulēts conway hipotēze vēl nav pierādīts. Tātad pastāv vēl kāda varbūtība, ka iepriekš minētais algoritms ļauj mums atbildēt uz jautājumu, vai ir iespējams būvēt bruģēšanu, pamatojoties uz šo protoplītu vai ne. Tomēr trīsdimensiju telpā līdzīga hipotēze tika atrisināta pozitīvi, un arī uz Lobachevska plaknes. Turklāt tas mums liek palielināt izmantoto protoplīciju skaitu diviem, jo ​​mēs tūlīt atklājam aperiodisku komplektu – slavenās Penrose mozaīkas piemēru (12. Attēls).

Zīm. 12 Penrose mozaīka.Attēls no ru.wikipedia.org

Ja nav skaidrības par to, vai no konkrētas flīzes vienmēr ir iespējams saprast, vai tas atzīst plaknes segumu vai ne, tad jums vajadzētu mēģināt uzskatīt mazāk vispārīgu gadījumu un uzlikt jebkādus ierobežojumus protoplicam. Pirmkārt, mēs pieņemam, ka visi poligoni, kas veido flīzēšanu, ir izliekti. Šis nosacījums izrādās diezgan spēcīgs: izrādās, ka izliektā proto-flīžu malu skaits, kas atzīst segumu, nepārsniedz 6. Tomēr šeit arī ir nopietnas grūtības.

Zīm. 13

Ir viegli pārliecināties, ka visu plakni var pārklāt ar jebkura trijstūra eksemplāriem, kā arī jebkura četrstūra kopijām – šeit pat izliektības nosacījums nav vajadzīgs (13. att.). Tomēr ar pentagoniem viss nav tik vienkārši. Pentagonu monoerģisko slīpumu pētījumam ir bagāta vēsture, un pat tagad nav pilnīgas pārliecības, ka šis uzdevums ir atradis tā loģisko secinājumu. Acīmredzot Carl Reinhard pirmo reizi klasificēja 1918. gadā, izceļot piecu veidu izliektu pentagonu slīpumu (14. attēls). Katram tipam bija raksturīgs noteikts nosacījumu kopums uz sāniem un stūriem, kas tomēr atstāja zināmu brīvību – visi šie tilings bija "neuzstādīti".Pusgadsimtu vēlāk, 1968. gadā, Ričards Kēršners informēja pasauli par trīs citu tipu atklāšanu, apgalvojot, ka ar šiem astoņiem tipiem viss ir izsmelts. Tomēr viņš bija nepareizi: 1975. gadā Ričards Džeimss pēc tam, kad izlasījis slavenā zinātniskā popularizētāja Martin Gardner rakstu, atrada vēl vienu tipu. Bet īsu izrāvienu nākamajos divos gados veica mājsaimniece Marjorie Rice, kas nolasīja vienu un to pašu rakstu – viņai izdevās atrast tik daudz kā četrus jaunus monoerģiskos slīprakstus ar izliektiem pentagoniem.

Zīm. 14 15 plaknes monoģeardiskie tiltiņi ar pentagoniem. Attēls no forbes.com

Stāsts tomēr nebeidzās: četrpadsmito segumu 1985. gadā atrada Rolf Steins – atšķirībā no visiem iepriekšējiem, tas bija "grūts". Un trīsdesmit gadus vēlāk pētnieku grupa Casey Manna, Jeniffera MacLeod un David von Durey, izmantojot datora aprēķinus, atklāja piecpadsmito segumu, kuram nebija arī brīvības pakāpes. Visbeidzot, 2017. gadā Michael Rao iepazīstināja ar pierādījumu, ka nav citu piecstūru tiltingu. Taču, lai to pierādītu, Rao izmantoja speciāli izstrādātu datorprogrammu, kas daļēji radīja zināmu skepticismu zinātniskās aprindās, lai gan tā tika neatkarīgi reproducēta un pārbaudīta.

Vēl viena pieeja monoerģisko tilings klasifikācijai ir balstīta uz faktu, ka mēs koncentrējamies uz flīžu īpašībām attiecībā uz simetrijas grupu. Ja jebkurai divai dakstiņai, kas atrodas ceļā, ir simetrija, kas pirmajā flīģē uz otro, tad šis segums ir izoederāls. Vispārīgāk, mēs sakām, ka slīpēšana k-isohedralja tās flīžu komplekts ir sadalīts k klases simetrijas grupas darbības ietvaros. Piemēram, tilpumi, kas parādīti fig. 13 ir izoederālas, jo katra flīze var pārveidot jebkurā citā vai nu ar paralēlo pārnesi (tādas flīzes tiek krāsotas vienā krāsā) vai rotējot (šādas flīzes ir krāsotas dažādās krāsās). Un bruģējot uz rīsiem. 11 jau ir 2-isoederāls: dzeltenas krāsas flīzes var tikt pārveidotas viena otrai tā, ka flīzes ir paškombinējamas, tāpat kā zilās flīzes var tulkot savā starpā, bet zilā flīze nevar tikt pārveidota dzeltenā krāsā. Citi šķidrumi, kurus mēs redzējām risinājumā, ir arī k– izoederatīvs dažādiem k. Lai to aplūkotu, mēs tos pārgriezām tā, lai flīzes varētu pārveidot viens otram ar dakstiņu simetriju tad un tikai tad, jaja tie ir krāsoti vienā krāsā (kā tas bija ar nosacījuma segumu, kas, kā mēs tagad saprotam, ir 3-isoederāls). Kad to izdarījis, mēs to redzam vienam no tiem k = 8 (15.zīm., Pa kreisi), otrajam k = 16 (15. attēls, pa labi), un trešo k = 10 (15. att., Zemāk).

Zīm. 15

Klasisko poligonu izliekumus var klasificēt kā izciļņus. Tātad, viss ir pieejams:

  • 14 isohedral pavedienu trīsstūra flīzes,
  • 56 isohedral flīzes ar izliektu četrstūrainu flīzes,
  • 24 isohedral flīzes ar izliektu pentagonu flīzēm,
  • 13 isohedral flīzes ar izliektu sešstūrainu flīzes.

Būtībā tie ir "neuzstādīti" (kā attēlā attēlots 13. attēlā). Bet daži no tiem deformācijas laikā vairs nav izoederāli. Piemēram, tas ir vinila grīdas segums. 16: mēs varam novirzīt horizontālās svītras salīdzinājumā ar otru, bet pēc tam trijstūri ar horizontālo pamatni nevar pārvērst trijstūrī ar simetrijas slīpi.

Zīm. 16

Klasificēt k– izoederālais tilings ar k > 1 ir iespējama arī. Tomēr, tāpat kā tilpumiem ar izliektām flīzēm, tas ir daudz sarežģītāk, un jau divu isoederālo slīpumu gadījums kļūst grūti saskatāms, pateicoties lielam skaitam atzarojumu iespēju. Un par lielajām vērtībām k mēs pat nerunāsim.


Like this post? Please share to your friends:
Atbildēt

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: