Precīza pozicionēšana • Evgeny Anikin, Evgeny Epifanov • Tautas zinātnes uzdevumi "Elementi" • Matemātika, fizika

Precīza pozicionēšana

Uzdevums

Daudzi ir pazīstami ar satelītu navigācijas sistēmām. Visslavenākie – krievu GLONASS un amerikāņu GPS – tagad tiek izmantoti gandrīz visur automašīnu navigatoros un viedtālruņos. Kopumā šo sistēmu darbība ir šāda. Satelītu ģimeni koordinē zemes apsaimniekošanas centri, lai katrs satelīts "uzzinātu" savu stāvokli un to laiks tiktu sinhronizēts. Satelīti pastāvīgi pārraida šos datus (telpiskās koordinātas un laiku) uz Zemes, un lietotāju ierīces to ņem un cenšas aprēķināt to koordinātas reālajā laikā.

Pamatojiet uz šādu vienkāršotu shēmu, pastāstiet man cik daudz ja satelītiem vienlaicīgi ir jāparādās lietotāja uztvērējā, lai precīzi (piemēram, ar kļūdu 20 m attālumā) būtu jānosaka viņu pozīcija?


Padoms

Uztvērēja uzdevums ir aprēķināt tā koordinātas no datiem, kas nāk no satelītiem. Koordinātes ir trīs telpiskie mainīgie, tāpēc to noteikšanai ir nepieciešams vismaz trīs vienādojumu sistēma (tas ir, ir nepieciešami dati no vismaz trim satelītiem). Apsveriet, kā šos vienādojumus var iegūt mūsu vienkāršotajā situācijā, un kāda tehniska iemesla dēļ trīs vienādojumi patiesībā nav pietiekami.


Šķīdums

Tātad, lietotāja uztvērējs – teiksim, navigators – saņem no katra satelīta signālu ar trim satelīta telpiskajām koordinātām un šī signāla nosūtīšanas laiku. Šie dati ir pietiekami, lai divos veidos izteiktu attālumu no satelīta navigatoram un iegūtu nepieciešamos vienādojumus.

Ja nepieciešamās navigatora koordinātas (x, y, z) un satelītu koordinātas (xs, ys, zs), tad pēc Pitagoras teorēmas attālums starp tiem ir

\ (\ sqrt ((x-x_s) ^ 2 + (y-y_s) ^ 2 + (z-z_s) ^ 2) \).

Satelīta signāls izplatās gaismas ātrumā. ar, tādēļ, ja tas tiktu izstāts kādā brīdī t0, un šobrīd saņēmis navigators t1tad tas pats attālums ir vienāds c(t1t0) Tas dod vienādojumu. Dati no trim satelītiem ļauj izveidot trīs vienādojumu sistēmu trim nezināmiem (x, y, z) Kāda nozveja?

Fakts, ka nezināmie nav īsti trīs, bet četri, jo jūs nevarat rēķināties ar navigācijas ierīces pulksteņa lielo precizitāti. Piemēram, kļūda ir viena desmitā tūkstošdaļa procenti – ja viena sekundes vietā pulkstenis mēra 1.000001 sekundes un tikai aptuveni divas ar pusi papildu sekundes mēnesī, nosakot attālumu no satelīta, radīsies kļūda aptuveni 20 metros.Parastos pulksteņos trieciena precizitāte ir vairākas reizes zemāka, un kļūdas reizinājums palielinās. Tāpēc aprēķinos tiek ieviests vēl viens nezināms – uztvērēja pulksteņa kļūda. Tāpēc ir vajadzīgs vēl viens vienādojums, kas nozīmē, ka jābūt vismaz četriem satelītiem.


Pēcvārds

Patiešām darbojošajās satelītu navigācijas sistēmās viss, protams, ir daudz sarežģītāks. Navigācijas ierīces koordinātu aprēķins daudzos veidos ņem vērā daudzus faktorus, kas rada kļūdas, nosakot precīzu pozīciju: šīs ir problēmas, nosakot paša satelītu atrašanās vietu, atmosfēras radīto signālu izkropļojumu un pat relatīvistisko efektu. Sīkāka diskusija par šiem jautājumiem atrodama Globālās pozicionēšanas sistēmas kļūdu analīzē, kā arī tajā norādītajā literatūrā.

GLONASS satelīti atrodas apļveida orbītā ar 19 400 km augstumu. Tagad kopsavilkumā ir 27 satelīti, no kuriem 24 tiek izmantoti paredzētajam mērķim (vēl divi ir rezervēti un viens ir pārbaudes fāzē). Kā redzams attēlā, satelītu orbītas ir sadalītas trīs ģimenēs.

GLONASS sistēmas satelītu orbītas (zilas līnijas) Paši pavadoņi ir izraudzīti sarkanie punktiņi. Pelēki punkti – citi satelīti.Ir redzams, ka Zeme ir shrouded ar "mākonis", ar lielu skaitu gandrīz Zemes satelītiem, un apskatīt ģimenes satelītiem ģeostacionārā orbītā. Attēls no stuffin.space

Rodas šāds jautājums: un kas ir minimālais skaits satelītu, kas nepieciešami, lai nodrošinātu pilnīgu pārklājumu Zemes, un ka jebkurā laikā no jebkura punkta uz virsmas var redzēt četrus satelītus? Protams, tas vienkārši ir jādara daudz vienkāršošanu, samazinot problēmu tīri ģeometriskā (lai gan ģeometrija ir sfēriska): Zeme jāuzskata sfēra, orbītā – apļi, kuru centri sakrīt ar lodes centru, orbītām vienas ģimenes – atbilstību. Vai ir iespējams, neizmantojot datoru, lai precīzi aprēķinātu minimālo satelītu skaitu?

Saskaņā ar problēmas autoru aprēķiniem teorētiski GLONASS varētu būt pietiekams 18 satelītus. Ja kāds lasītājs salīdzinoši vienkāršā veidā saņem zemāku vērtējumu (un bez datora palīdzības), mēs ar prieku to atklāsim. Vispārīgi runājot, pamatojums ir šāds. Ar sešu satelītu palīdzību regulāri pa koridoriem rotē ekvatoriskajā orbītā ar 25800 km rādiusu. Tad var aprēķināt, ka platumā, kas mazāks par 60 °, vienmēr ir redzami vismaz divi satelīti.

Patiesi, satelītu šādā orbītā var redzēt no sfēriska apļa ar rādiusu

\ (\ alpha = \ frac \ pi2- \ mathrm (arcsin) \ left (\ frac R {r_s} \ right) \ approx75 {,} 6 ^ \ circ \),

kur R = 6400 km ir Zemes rādiuss, un rs = 25 800 km – satelīta orbītā rādiuss. Vārds "rādiuss" (un citas norādes uz garumiem) turpmāk nozīmē sfērisku rādiusu, tas ir, loka lielā apļa leņķa mērījums. Kad satelīti vienmērīgi sadalīti orbītā, atbilstošo apļu (redzamības laukumi) centri ir vienādi ekvatora attālumā 60 °. Ja mēs izdarām trīs šādus secīgus apļus, ir skaidrs, ka virs vidusdaļas centra ir zona, kurā ir redzams tikai viens satelīts. Šīs zonas apakšējais punkts ir apļa viduspunkta krustošanās punkts. Tāpēc zonas maksimālais platums, no kura vienmēr ir redzami vismaz divi satelīti, ir sfēriskā trīsstūra augstums ar malām (2π / 3, α, α). Augstumu var atrast Napiera formulas, jo tas sadala šo trīsstūri divos vienādos un veido taisnā leņķī ar ekvatoru.

Tādējādi katrai orbītā ir divi sfēriskie "vāciņi", kuru rādiuss ir mazāks par 30 °, kur vismaz divi satelīti ne vienmēr ir redzami. Trīs šādus "vāciņus" var viegli novietot uz puslodi bez krustojumiem: jūs varat izstiept gar lielu apli, kas iet caur stabu.Viņi netiks pārmest virs puslodi, jo katra "vāciņa" centrālā leņķa "risinājums" ir mazāks par 60 °, tas ir, visi trīs "vāciņi" ietilpst 180 °. Kad tos var novietot šādā veidā, attiecīgie trīs orbīti ar sešiem satelītiem katram aptver visu zemi, un no katra zemes virsmas punkta vienmēr būs redzami četri satelīti. Galu galā, ja mēs esam iekšā "vāciņam", kas pieder jebkurai orbītā, tad mēs esam ārpus diviem citiem "vāciņiem", un katrā no diviem atbilstošajiem orbītajiem mēs vienmēr redzam vismaz divus satelītus.


Like this post? Please share to your friends:
Atbildēt

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: