Punkti un līnijas • Nikolajs Avilovs • Tautas zinātnes problēmas "Elementi" • Matemātika

Punkti un taisni

Uzdevums

Tā kā mēs mācāmies skolā ģeometrijas nodarbībās, izmantojot divus dažādus punktus, ir iespējams uzzīmēt tieši vienu taisnu līniju. Varam teikt, ka punktu pāri nosaka unikālu līniju. Bet, ja ir vairāk punktu, tad to noteikto līniju skaits var būt atšķirīgs. Piemēram, atkarībā no tā atrašanās vietas, trīs punkti var definēt trīs taisnās līnijas (ja šie punkti ir nepārvērtas trijstūra virsotnes) vai viena taisna līnija (ja šie punkti ir kolineāri, tas ir, tie atrodas vienā taisnā līnijā). Ja ir vēl vairāk punktu, tad ir lielākas iespējas savstarpēji vienoties, tādēļ atbildes uz jautājumu "cik tieši tie nosaka šos n Būs daudz punktu. "Bet šis uzdevums ir ierosināts, lai risinātu konkrētas punktu konfigurācijas, un mēs dažus vispār apspriestu jautājumus apspriedīsim vēlāk.

Zīm. 1

a) Uz kārtainā papīra mēs ņemam kvadrātu ar piecu šūnu pusi un atzīmējam visus punktus tajā un tā malā – mēs iegūstam 36 punktus 6 × 6 kvadrātveida režģa formā (1. attēls). Cik daudz tieši noteikt šos punktus? Un, ja 64 punkti (8 x 8 režģa formā)?

b) Parastā tetraedra malu garums ir vienāds ar 4. Katrā no tiem ir atzīmēti trīs punkti, sadalot malu vienības segmentos. Tetraedra virsotnes ir arī marķētas. Cik daudz līnijas definē visus atzīmētos punktus?


Padoms

Mēģiniet skaitīt līnijas, kuras nosaka mazāks punktu skaits – 4, 9 vai 16 punkti. Ja atbildes ir 6, 20 un 62 tiešas, tad jums ir uz pareizā ceļa.

Galvenā grūtība ir tāda, ka dažas taisnās līnijas iet caur diviem marķētiem punktiem, bet daži – ar trim vai vairākiem marķētiem punktiem. Risinot problēmu, ir svarīgi organizēt taisnas līniju skaitīšanas sistēmu.


Šķīdums

Mēs sadalām visas taisnās līnijas paralēlās taisnās līnijās, kas nav savienotas. Taisnās līnijas ar vienu slīpumu iedala katrā klasē. k.

Zīm. 2 Daži no paralēlu līniju klasēm

Attēlā 2 rāda dažas līniju kategorijas. Viņu leņķiskie koeficienti, izņemot 0 un 1, ir visas iespējamās neatsaucamās pareizās daļas, kuru saucējs nav lielāks par 5. Lai iegūtu visas nodarbības vispār, jums jāņem vērā attēla simetrija. Tātad, aprēķinot – un skaitļus, kurus vienkārši jāpievieno, – līniju skaitu klasēs ar k = 0 un k = 1 nepieciešams divkāršot, bet citās klasēs – četras reizes. Rezultāts ir 2 × (6 + 9) + 4 × (5 + 4 + 3 + 2 + 10 + 6 + 15 + 12 + 12) = 306 līnijas.

Līdzīgs aprēķins 64 punktiem sniegs 938 rindiņas.

Tagad pievērsīsimies tetraedronam. Šo problēmu nekavējoties var uzskatīt par vispārēju. Ļaujiet četrstūra rāmim ar garuma malu m dalīts ar punktiem vienā segmentā.Cik daudz dažādu taisnu līniju nosaka šos punktus un tetraedra virsotnes?

Tetraedrā ir 4 virsotnes un 6 malas. Kopā ar virsotnēm un dalīšanas punktiem tetraedrona sistēmā ir atzīmēti 4 + 6 (m − 1) = 6m – 2 punkti. Ja visi šie punkti būtu vispārējā stāvoklī (tas ir, neviens no trim viņiem neatrodas vienā rindā), tad viņi definēs (6m − 2)(6m − 3)/2 = (3m − 1)(6m – 3) taisnas līnijas (jo, ja punkti atrodas vispārējā stāvoklī, tad divi no tiem nosaka savu taisni). Tagad mums ir jāņem vērā, ka katrā tetraedra malā ir atzīmēts m + 1 punkts nav vispārējā pozīcijā. Ja šie punkti būtu vispārējā stāvoklī, tie būtu jādefinē m(m + 1) / 2 taisnas līnijas. Bet visas šīs līnijas sakrīt – tā ir līnija, kas satur noteikto tetraedra malu. Tādējādi kopējais līniju skaits, kas norādītas norādītajos punktos, ir (3m − 1)(6m − 3) − 6·m(m + 1) / 2 + 6. Pēc vienkāršošanas mēs saņemam 15m2 − 18m + 9 taisnas līnijas. Mūsu uzdevumā m = 4, tāpēc atbilde ir 177 rindiņas.


Pēcvārds

Ja mēs pielietojam argumentus, kurus mēs izmantojām, lai atbildētu uz pirmo jautājumu par problēmu, tad mēs varam atrast atbildes no citiem laukiem n2 punktus. Šeit tie ir n no 2 līdz 10: 6, 20, 62, 140, 306, 536, 938, 1492, 2306. Šī secība ir iekļauta tiešsaistes enciklopēdijā par veselu skaitļu sekvencēm ar numuru A018808.

Vai ir relatīvi vienkārša formula, lai izteiktu numuru N šādas līnijas par patvaļīgu n? Mēģināsim viņu meklēt.

Mēs izmantojam divus zināmus faktus no saslimšanas ģeometrijas.

1) Ja plaknē atzīmējiet k norāda vispārējo stāvokli (atcerieties, ka tas nozīmē, ka neviens no šiem punktiem neatrodas vienā taisnā līnijā), tad dažādu taisnu līniju skaits, ko nosaka šie punkti, ir vienāds ar k(k − 1)/2.

Mēs izmantojām šo paziņojumu risinājumā, un to var viegli pierādīt ar indukciju.

2) Ja uz plaknes atzīmējiet k punkti, kas nav vienā rindiņā, tad tie vismaz nosaka k dažādas taisnas līnijas.

Otrais paziņojums izklausās diezgan acīmredzams, bet tas vispirms tika pierādīts tikai divdesmitā gadsimta vidū un šobrīd pazīstams kā de Bruin-Erdöos teorēma.

Pamatojoties uz šīm divām īpašībām, varat aprēķināt numuru N(n) Izmantojot otro faktu, mēs iegūstam zemāko robežu: N(n) ≥ n2. Izmantojot pirmo faktu, mēs iegūstam augšējo novērtējumu: N(n) ≤ n2(n2 – 1) / 2 ir noteikto līniju skaits n2 punkti vispārējā stāvoklī.

Tas nozīmē, ka, ja ir formula N (n) polinoma formā no n, – un tas, iespējams, ir visvienkāršākā formulas formula, – šis polinoms var būt tikai 2, 3 vai 4 grādi. Izmantojot pirmās pirmās vērtības N, izmantojot indeksētu koeficientu metodi, var pierādīt, ka šāda polinoma formā nav formulas.

Ļaujiet mums izmēģināt citu pieeju un vispārināt rindu skaitīšanas metodi, sadalot paralēlas klases klasēs. Katra klase ietver visas paralēlas līnijas ar leņķa koeficientu k = a/b (turpmāk tekstā regulāri ir neatsaucamas).

Tā kā jebkura līnija plaknē tiek viennozīmīgi noteikta ar leņķa koeficientu un vienu punktu, katrai klasei ar k = a/b punktētajā kvadrātā atlasiet punktus, kas definē visas šīs klases rindiņas. Šajā gadījumā ir iespējami divi gadījumi:
1) ja b < n/ 2, tad punkti, kas nosaka visas taisnās līnijas ar leņķa koeficientu a/b, atrodas zilajos un zaļajos taisnstūros, kas parādīti pa kreisi attēlā. 3, un to b·(na) + a·(n − 2b) = n·(a + b) − 3Ab;
2) ja bn/ 2, tad punkti, kas nosaka visas taisnās līnijas ar leņķa koeficientu a/b, atrodas zilajā taisnstūrī, kas parādīts labajā pusē attēlā. 3 un tiem (na) (nb).

Zīm. 3 Punkti, ar kuriem palīdzību jūs varat noteikt visas līnijas no noteiktas klases 100 punktu kvadrātā. Labais piemērs k = 2/3, pa labi – uz k = 2/7

Skaits N(a/ba) c līnijas taisnas līnijas k = a/b vienāds ar izvēlēto punktu skaitu, un to aprēķina pēc iepriekš minētajām formulām.

Tāpēc numurs N(nvisi tiešie, dots n2 punktus var aprēķināt pēc formulas:

\ [N (n) = 2 (N_0 + N_1) +4 \ sum \ limits_ {b = 2} ^ (n-1) \ sum \ limits_ {a = 1} ^ (b-1) N \ left (\ frac ab \ labi) \]

kur N0 = n – horizontālo līniju skaits N1 = 2n – 3līniju skaits, kas ir paralēli kvadrātveida diagonālim. Šo formulu ir viegli programmēt un pārbaudīt, vai rezultāti atbilst.

Var arī iegūt atkārtotas attiecības attiecībā uz taisnām līnijām, ko nosaka ar laukuma kvadrāti, bet tie arī izrādās diezgan apgrūtinoši. Sīkāka informācija atrodama rakstā S. Mustonen, 2009. Uz līnijām un to krustošanās punktiem.

Argumenti, kas tika doti pareizajam tetraedronam šķīdumā, darbojas jebkuram izliektam daudzstūrī, kurā visas malas ir vienādas viena pret otru. Patiesībā nevienu īpašu tetraedronu īpašību nekur neizmantoja, bet tika ņemts vērā tikai to virsotņu un malu skaits. Tātad argumentācija tiek atkārtota gandrīz pilnīgi.

Ļaujiet tev būt daudzasailes B virsotnes un P ribas. Kopā ar virsotnēm un dalīšanas punktiem uz atzīmētās daudzstūra rāmja In + R(m – 1) punkti. Ja visi šie punkti būtu vispārējā stāvoklī, tad tie definētu \ (\ frac12 (B + P (m-1)) (B + P (m-1) -1) \) līnijas). Bet katrā polāžas malā ir atzīmēts (m + 1) punkts, kas, ja tie būtu vispārējā stāvoklī, noteiktu m(m + 1) / 2 taisnas līnijas, bet tās nosaka tikai vienu taisnu līniju ar malu. Tas nozīmē, ka visi no tiem ir jāatņem no kopējā skaita un jāpievieno līniju skaits ar malām. Get

\ [\ dfrac12 (B + P (m-1)) (B + P (m-1) -1) -P \ cdot \ dfrac12m (m + 1) + P ..]


Like this post? Please share to your friends:
Atbildēt

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: