Smagākais baltais punduris • Hayk Hakobyan • Populāras zinātnes uzdevumi "Elementos" • Astronomija

Smagākais baltais punduris

Dzīves brauciena beigās galvenās kārtas zvaigznēs iztērē lielāko daļu no to ūdeņraža padeves, kā rezultātā iekšējais spiediens zaudē spēju saglabāt čaulas gravitācijas kompresiju (skat. Galveno secības uzdevumu). Zvaigznēm, kuru masa ir līdz pat 8 reizēm Saules masa, šajā situācijā var būt divi rezultāti. Pirmajā gadījumā kodols var sabrukt līdz brīdim, kad kvantu deģenerējošo elektronu spiediens pārtrauc sabrukumu, paverot kodolu baltā pundurā. Otrajā gadījumā pat tad, ja deģenerējošo elektronu spiediens nesamazina sabrukumu vielas lielā smaguma dēļ, kodols turpinās sarukt, savukārt augstās temperatūrās un spiedienos neitroni ir kvantu deģenerēti, kuru spiediens jau līdzsvaro sabrukumu, veidojas neitronu zvaigzne.

Zīm. 1 Zvaigznes dzīves cikls. Gāzu putekļu mākoņu nejaušu svārstību dēļ var veidoties vielas sabiezējums, kas pakāpeniski palielinās. Tātad parādās lodītes. Ja globules masa ir pietiekama gravitācijas saspiešanai, tad tajā var sākties zvaigžņu veidošanās process. Dzīvības beigās galvenās secības zvaigzne kļūst par sarkano milzu, kuras likteni (precīzāk, nāvi) nosaka masa.Nepietiekami masīvas zvaigznes sabrūk neitronu zvaigznī vai baltā pundurā, un vissmagākos neapstājas un neattīstas melnajā caurumā. Attēls no futurism.com

Šajā problēmā no pirmajiem principiem tiek ierosināts noteikt, cik liela ir balta pundura maksimālā masa. Lai to izdarītu, atcerieties, ka zvaigznes enerģiju nosaka siltuma un gravitācijas enerģijas summa

\ [E_ {\ rm tot} = E_ {\ rm T} – \ frac {GM ^ 2} {R}. \]

Balta pundura gadījumā, jo visu pretstatošo smaguma spiedienu nosaka degenerējošie elektroni, ET – tā ir elektronu siltuma enerģija.

Relatīvistiskās daļiņas enerģija rakstīta šādi:

\ [E = \ sqrt {m ^ 2c ^ 4 + p ^ 2c ^ 2}, \]

kur m – daļiņu masa, p – viņas impulss. Turklāt, ne relativistiskajai (lēnajai) daļiņai E = mc2, kā vajadzētu būt (kinētiskā enerģija tiek ņemta vērā šādā sadalīšanās secībā), un ultrarelativizējošai daļai (ātrai, kuras kinētiskā enerģija ir daudz lielāka par pārējo enerģiju), mums ir E = pc.

Mēs pieņemam, ka visi tādā kritiski smagā baltajā pundurē visi elektroni ir ultraelatīvi, tas ir, viņiem Ee = pec. Tad kopējā elektroenerģijas siltuma enerģija būs vienāda ar ET = Npeckur N – elektronu skaits, un pe – noteiktas vidējās impulsa vērtības katrai no tām.

Lai novērtētu vidējo momentu, mēs izmantojam faktu, ka visi elektroni ir deģenerēti. Attiecībā uz deģenerējošiem elektroniem, kā arī visām daļiņām ar daļēji veselu skaitli, tiek piemērots Pauli izslēgšanas princips. Divi elektroni ar vienādi vērstiem spiniem nevar aizņemt vienu un to pašu stāvokli.

Lai saprastu, kas tas nozīmē, jums ir jāsniedz tā saucamā fāzes telpa gadījumam, kad ir tikai viena telpiskā koordināta x. Šī vieta ir koordinātu plakne ar asīm. px un x. Point \ ((p_x ^ 0 {,} ~ x ^ 0) \) šajā vietā apzīmē daļiņu ar impulsa \ (p_x ^ 0 \) vietā, kur minētie \ (x ^ 0 \) (2 zīm.). Trīs telpisko izmēru gadījumā fāzes telpa būs sešpadsmitdaļa, un to jau ir grūti izdarīt.

Zīm. 2 Fāzes vieta vienotas telpiskās koordinātas gadījumā x. Punkts šādā telpā ir daļiņa ar noteiktu koordinātu un noteiktu impulsu.

Kad runa ir par izvirst kvantu daļiņas, fāzes telpa ir sadalīts divās kamerās, katrs no kuriem, saskaņā ar Heizenberga nenoteiktības principu, tilpuma vienībās \ (\ Delta p \ Delta x \ sim \ hbar \) (3 zīm.). Tikai divi elektroni (ar pretējiem spiniem) var tikt "ievietoti" šādā kvantu šūnā.un pārējiem elektroniem būs jābūt pārblīvētiem jau kaimiņu šūnās.

Zīm. 3 Fāzes vieta vienai telpiskajai koordinātei. Attiecībā uz kvantu degenerējošām daļiņām minimālās šūnas tilpums ir \ (\ hbar \) (trīsdimensiju gadījumā, kā jūs varētu uzminēt, tas ir \ (\ hbar ^ 3 \))

Tādējādi impulsu telpā (pilnās fāzes telpas daļā) elektroni aizņems visas šūnas (divas pa vienam) līdz zināmam impulsam, ko sauc Fermi impulss pF. Šim impulsam vienkārši nav vairāk elektronu, un zem visām šūnām aizņem divi elektroni (4. attēls). Tādējādi vidējais (vai raksturīgais) elektronu impulss būs taisnība pF/2.

Zīm. 4 Trīsdimensiju impulsa telpa. Visas daļiņas ar daļēji veselu skaitli aizņem šūnas, kuru impulss nepārsniedz Fermi impulsu. Šādas šūnas veido sava veida "sfēru"

Tātad kopējais elektronu skaits N vienāds ar kopējo fāzes tilpumu (sešstaru telpā), dalīts ar vienas šādas šūnas tilpumu:

\ [N = 2 \ frac {\ Delta X \ Delta Y \ Delta Z \ Delta P_x \ Delta P_y \ Delta P_z} {\ Delta x \ Delta y \ Delta z \ Delta p_x \ Delta p_y \ Delta p_z}. \]

Koeficients 2 radās tāpēc, ka ir iespējams divi elektroni uz vienu šūnu, \ (\ Delta x \ Delta y \ Delta z \ Delta p_x \ Delta p_y \ Delta p_z \) ir viena šūna izmērs un \ (\ Delta X \ Delta Y \ Delta Z \ Delta P_x \ Delta P_y \ Delta P_z \) ir kopējais fāzes apjoms.

Uzdevums

1) Pieņemot, ka zvaigznes zvaigznīte ir elektriski neitrāla un galvenokārt sastāv no ūdeņraža, izlaižot visus skaitliskos koeficientus, atrast baltā pundūras maksimālā masa (Chandrasekhar masa). Izteikt to Saules masās.
2) Ņemot vērā elektronus, kas nav relativisti, atrast baltā pundura maksimālā rādiusa atkarība no masas.


1. padoms

Tā kā zvaigzne ir elektriski neitrāla, ir viegli saistīt zvaigznes masu un elektronu skaitu.


2. padoms

Padomājiet par nosacījumu, saskaņā ar kuru zvaigzne būs stabila pilnā enerģijā. Kādā masā (vai rādiusā, ja mēs runājam par problēmas otro daļu), šis nosacījums tiek pārkāpts? Ņemiet vērā, ka pirmajā gadījumā atbildei jābūt neatkarīgai no rādiusa.


Šķīdums

Pirmkārt, tā kā zvaigzne kopumā ir elektriski neitrāla, elektronu skaitam vajadzētu būt aptuveni vienādam ar protonu skaitu (faktiski, protams, tas ir atkarīgs no kompozīcijas, bet mēs iztveram skaitliskos koeficientus). Tā kā protoni galvenokārt veicina zvaigžņu masu, protonu skaits (kā arī elektronu skaits) būs N = M/mp.

Šiem elektroniem jābūt "iepakotiem cieši" saskaņā ar Pauli principu vienību šūnās sešu dimensiju fāzu telpā.Citiem vārdiem sakot, elektronu kopējam skaitam jābūt vienādam ar kopējo fāzes tilpumu, kas dalīts ar vienības šūnas apjomu (ar koeficientu 2, bet mēs to izlaižam)

\ [N \ sim \ frac {(\ Delta X \ Delta Y \ Delta Z) (\ Delta P_x \ Delta P_y \ Delta P_z)) {(\ Delta x \ Delta y \ Delta z) (\ Delta p_x \ Delta p_y \ Delta p_z)) = \ frac (V (\ Delta P_x \ Delta P_y \ Delta P_z)) {\ Delta x \ Delta y \ Delta z \ Delta p_x \ Delta p_y \ Delta p_z}. \]

Viena vienības šūna \ (\ Delta x \ Delta y \ Delta z \ Delta p_x \ Delta p_y \ Delta p_z \ sim \ hbar ^ 3 \), telpiskais apjoms \ (\ Delta X \ Delta Y \ Delta Z \ sim R ^ 3 \), un "tilpums", ko aizkustas daļiņas pākšaugu telpā, kā jau minēts iepriekš, ir vienāds ar \ (\ Delta P_x \ Delta P_y \ Delta P_z \ sim p_F ^ 3 \). Tādējādi mums ir

\ [\ frac {M} {m_p} \ sim \ frac {R ^ 3 p_F ^ 3} {\ hbar ^ 3}, \]

kur mēs to atrodam

\ [p_F \ sim \ frac {\ hbar M ^ {1/3}} {R m_p ^ {1/3}}. \]

Kā minēts iepriekš, elektroniem būs visi iespējamie impulsi līdz ierobežojošajam Fermi impulsam. pF, par kuru mēs varam to uztvert kā raksturīgu (vidējo) vērtību. Kopējā enerģija tiks rakstīta kā

\ [E_ {\ rm tot} \ sim N c p_F _ \ frac {GM ^ 2} {R} \ sim \ frac % {R} \ left (\ frac {c \ hbar M ^ {4/3} } {m_p ^ (4/3)} – GM ^ 2 \ labajā pusē). \]

Ņemiet vērā, ka kopējā starta enerģija faktiski ir atkarīga no diviem parametriem – masa M un rādiuss Rkamēr tikai masa nosaka savu zīmi. Lielums

\ {M_ {\ rm Ch} \ sim \ frac % {m_p ^ 2} \ left (\ frac {c \ hbar} {G} \ right) ^ {3/2} \ sim 1 {,} 86 ~ M_ {Sun}, \]

ko sauc arī par Chandrasekhar masu, ir robeža starp negatīvo un pozitīvo kopējo enerģiju. Precīzāks aprēķins ar reālu ķīmisko sastāvu dod vērtību \ (M _ (\ rm Ch) = 1 (,) 46 ~ M_ (Sun) \).

Pie \ (M> M _ (\ rm Ch) \) zvaigznītes kopējā enerģija ir negatīva un proporcionāla 1 /Rkas nozīmē mazākas vērtības R nodrošinās stabilāku zvaigznes stāvokli, uz kuru tā centīsies. Tas nozīmē "bezgalīgs" sabrukums uz mazāku rādiusu. Tāpēc, ja kodols ir lielāks par šo ierobežojumu masu, tas turpinās sabrukt.

Tomēr problēma ir tāda, ka ar \ (M <M _ (\ rm Ch) \) kopējā enerģija ir pozitīva, un tas, kā zināms, nozīmē sistēmas paplašināšanu, tas ir, rādiusa palielināšanu (lai samazinātu Ekop) Tomēr ņemiet vērā, ka \ (p_F \ propto 1 / R \) Fermi impulss samazināsies, palielinoties rādiusam.

Risinājumā mēs pieņēmām, ka daļiņas ir ultrareelatīvi, un tām ir \ (p_F c \ gg m_e c ^ 2 \), tomēr šo pieņēmumu var salauzt ar pietiekami mazu \ (p_F \ sim m_e c \), tas ir, R > R0kur

\ [R_0 \ sim \ frac (\ hbar M ^ {1/3}} {m_p ^ (1/3) m_e c}. \]

Tad jums ir jāizmanto cita siltumenerģijas formula, proti, \ (E_ (\ rm T) = p_F ^ 2 / 2m_e \), kas dos mums kopējo enerģiju izteiksmei

\ [E_ {\ rm tot} \ sim \ frac (\ hbar ^ 2 M ^ {5/3}} {m_p ^ (5/3) m_e R ^ 2} – \ frac (GM ^ 2) {R}. \]

Kopējās enerģijas atkarība no rādiusa ir parādīta attēlā. 5. Kā redzams, pastāv stabils (Ekop <0) minimums pie R = RWduz kuru sistēma centīsies.

Zīm. 5 Diagramma par baltā pundura kopējās enerģijas atkarību no rādiusa (\ (MR < R0 Elektroni ir ultralelatīvi un atkarība ir apgriezti proporcionāla rādiusam. Pie R > R0 Atkarība ir nedaudz sarežģītāka un tai ir minimāla enerģija. Diagramma no V. S. Beskina grāmatas "Kvantu mehānika un astrofizika"

Jūs varat viegli atrast šo minimumu (kopš Ekop ir kvadrātveida manekens pret 1 / R):

\ [R _ {\ rm WD} \ sim \ frac {\ hbar ^ 2} {Gm_p ^ {5/3} m_e M ^ {1/3}}. \]

Ja mēs nomainīsim Chandrasekhar masu, nevis masu, mēs saņemam kaut ko tādu, kas ir 5000 km garā, tas ir, saules masas zvaigzne, kas ir Zemes lielums.


Pēcvārds

Protams, šāda trivial analīze "uz pirkstiem" neveido precīzu kvantitatīvo aprakstu. Tomēr dīvaini, kvalitatīvi un pat kvantitatīvi, pēc lieluma, atbildes ir pareizas. Galu galā, ja kāda brīdī kodola sabrukšanas laikā, elektronu kvantu deģenerācija "ieslēdzas".

Ja masu kodolā pār Chandrasekhar ierobežojumu, spiediens ultra-izdzimtenis elektroniem nespēj apturēt saspiešanas, un zvaigzne būs sabrukumu dziļāk neitronu zvaigzni. Pretējā gadījumā tiks izveidots zināms līdzsvars starp deģenerētu nererelitivisko elektronu spiedienu un smaguma pakāpi, kurā tiks sasniegts minimālais kopējās enerģijas apjoms.

Chandrasekhar maksimālajai masai ir ļoti praktiska nozīme.Pirmā tipa supernovas (Ia) rodas dubultās uzkrāšanās sistēmās, kur jautājums no masveida biedra zvaigznēm plūst tuvumā esošajam baltam punduram. Šāds process tiek demonstrēts video:

Noplūdušas vielas dēļ balto punduru masa palielinās un dažos punktos var pārsniegt Chandrasekhar robežu. Tad sākas vēl kāds sabrukums, un sistēma eksplodē kā supernova Ia. Sakarā ar to, ka mēs precīzi zinām, kādā masā notiek šis sprādziens (1,44-1,46 saules masas atkarībā no sastāva un citiem faktoriem), mēs varam prognozēt sprādziena enerģiju un ilgumu.

Teorētiski zinot enerģiju un ilgumu, ar augstu precizitāti iespējams noteikt attālumu līdz eksplodējošai supernovai. Tas padara Ia tipa supernovas, kas pazīstamas kā "standarta sveces", kuru parametri ir iepriekš zināmi mums. Jo īpaši, analizējot ļoti tālu supernovas sprādzienus Ia 20. gadsimta beigās, tika parādīts, ka mūsu Universe paplašinās ar paātrinājumu.

Priekšvārda sākumā mēs minējām, ka otrā "robeža" pirms melnā cauruma sabrukšanas zvaigznei ir neitronu zvaigzne. Tajā degenerējošo neitronu spiediens (arī daļiņas ar pusi veselu skaitļu spin) jau apstādina zvaigznes gravitācijas spiedienu.Tāpat kā baltos punduros, neitronu zvaigznēm ir visaugstākā masa, ko sauc par Tolmana-Oppenheimer-Volkova robežu, TOV (Tolman-Oppenheimer-Volkoff limits).

Tomēr šīs vērtības atrašanai ir nepieciešams ņemt vērā vispārējās relativitātes sekas, jo šādas sistēmas izmēri (aptuveni 10 km) ir salīdzināmi ar Schwarzschild notikuma horizonta izmēriem Saules masas objektam (\ (2GM / c ^ 2 \ sim 3) km). Turklāt šādiem lieliem blīvumiem (neitronu zvaigžņu blīvums tuvāk centram pārsniedz atomu kodola blīvumu), ļoti precīzi jāpārskata stipra molekulārā mijiedarbība starp nukleoniem. Tas ievērojami sarežģī TOV maksimālās masas aprēķinu, bet tiek uzskatīts, ka reālā vērtība ir aptuveni 1,5 līdz 3 saules masas.


Like this post? Please share to your friends:
Atbildēt

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: