Trīs vienā • Evgenijs Epifanovs • Populāras zinātnes problēmas "Elementos" • Matemātika

Trīs vienā

Uzdevums

Cik veidos vai jūs varat sagriezt laukumu trijos taisnstūros, no kuriem katrs ir līdzīgs pārējiem diviem? Atgādiniet, ka divi taisnstūri ir līdzīgi, ja pirmās puses ir savstarpēji saistītas tāpat kā otrās puses. Veidi, kas atšķiras tikai ar kvadrātveida rotāciju vai atspoguļojumu, tiek skaitīti kā viens.


Padoms

Trīs taisnstūri ir maz, tādēļ jūs varat kārtot to atrašanās vietas kvadrātā un pārbaudīt, vai taisnstūri katrā gadījumā ir līdzīgi.


Šķīdums

Ja jūs nedaudz saliecat laukuma sadalījumus trīs taisnstūros, lai saprastu, kā tos visumā var ievietot, tad jūs varat ātri secināt, ka ir tikai divi dažādi gadījumi (līdz kvadrātveida pagriezieniem). Patiešām, trīs, divi vai viens taisnstūris var pievienoties laukuma augšējai pusei. Ja ir trīs no tiem, tad konfigurācija, kas parādīta attēlā. 1 pa kreisi. Ja divi, tad – konfigurācija, kas parādīta šajā zīmējumā pa labi. Ja tikai viens taisnstūris atrodas blakus augšējai pusei, pārējie divi atrodas zem tā, un to kopējā puse ir vai nu horizontāla (un tad tā ir tāda pati kā pirmā konfigurācija), vai arī vertikālā (tad tā ir tāda pati kā otrai konfigurācijai).

Zīm. 1

Par pirmo konfigurāciju tūlīt ir skaidrs, ka visi trīs taisnstūri ir vienādi: pēc nosacījuma tiem jābūt līdzīgiem, bet no vienošanās izrādās, ka tie ir vienādiparlabās puses.

Mēs sapratīsim otro konfigurāciju. Mēs apsveram orientācija taisnstūris ir tā garākās puses virziens (ir skaidrs, ka mums ir tikai izstiepti taisnstūri, kuriem viena puse garāka par otru). Kā var būt orientēti divi taisnstūri?

Tie nevar būt gan vertikāli (kā parādīts 1. attēlā), jo tad tie būs vienādi (bparlielās puses ir vienādas), un tādēļ lielākās puses attiecība pret mazāko ir mazāka par 2 (jo mazākā puse ir vienāda ar pusi kvadrātveida pusi, un lielākā puse nav lielāka par kvadrāta visu pusi). Un apakšējā taisnstūrī šī attiecība būs lielāka par 2. Tāpēc tā nevar būt līdzīga augšējai.

Tie var būt gan horizontāli (2. attēls, pa kreisi). Tad abi divi augšējie taisnstūri atkal ir vienādi, un to ir viegli aprēķināt, lai visi trīs taisnstūri būtu līdzīgi, un katrs no abiem pusēm uzliek viens otru kā 3: 2.

Zīm. 2

Visbeidzot, vai viens no augšējiem taisnstūriem ir horizontāls un otrs ir vertikāls? Pārbaudi. Šī situācija ir attēlota 2. attēlā pa labi.Mēs ierakstām apzīmējumu kā šo skaitli. Ņemot vērā taisnstūru līdzību, mēs atrodam:

\ [BE = \ dfrac1y, \ AD = xy. \]

Tā kā laukuma malas ir vienādas, iegūstam vienādojumus:

\ [y + \ dfrac1y = 1 + x = xy. \]

Taisnā taisnība ļauj izteikt y:

\ [y = \ dfrac {1 + x} %, \]

pēc kura vienādojumu iegūst no kreisā vienādojuma

\ [\ dfrac {1 + x} % + \ dfrac % {1 + x} = 1 + x. \]

To var pārrakstīt kā

\ [x ^ 3-x-1 = 0. \]

Šis kubiskais vienādojums ir viens reāls saknes \ (\ rho \ approx1 (,) 3247 \ ldots \), tāpēc šis gadījums tiek realizēts. Tātad ir trīs veidi, kā sagriezt laukumu līdzīgos taisnstūros.


Pēcvārds

Tā kā precīzu risinājumu formulas ir zināmas kubikmetru vienādojumu gadījumā, mēs varam būt pārliecināti, ka ir sakne, un tā ir viena. Radikāļos šis numurs ir rakstīts kā:

\ [\ rho = \ dfrac {\ sqrt [3] {108 + 12 \ sqrt %} + \ sqrt [3] {108-12 \ sqrt %}} %. \]

To var arī uzrakstīt kā bezgalīgu radikāļu secību, kas ir savstarpēji iemontēti:

\ [\ rho = \ sqrt [3] {1+ \ sqrt [3] {1+ \ sqrt [3] {1+ \ sqrt [3] (\ ldots)}}} \]

Interesanti, ka šim skaitam ir savs "vārds": holandiešu arhitekts (un nepilna laika mūks) Hanss van der Laans viņu sauca plastmasas numurs (plastmasas numurs). Van der Laans neradīja ļoti daudz ēku, un lielākoties tās bija baznīcas, bet viņa teorētiskajam darbam bija noteikts svars. Jo īpaši viņš izstrādāja teoriju par harmoniskām attiecībām starp ēkas elementiem,kurā plastikāta numurs bija galvenā loma.

Zīm. 3 Hansa van der Laāna projektētās ēkas. Pa kreisi: Benediktiešu klosteris Tumellā, Zviedrijā. Pa labi: abatijas interjers Māstrihtā, Nīderlandē. Foto no vietnes divisare.com

Šāds vārds viņa idejā atspoguļoja faktu, ka šim skaitlim var piešķirt ģeometrisku "formu". Mēs saskārāmies ar vienu šādu formu piemēru problēmā. Cits piemērs rodas šādi. Pieņemsim, ka pastāv neierobežots dažādu izmēru kastes (taisnstūrveida paralēlskaldņu) piegāde ar visu garumu malām. Sāksim ar lodziņu 1 × 1 × 1, pievienojiet citu šādu lodziņu lodziņa pusei – mēs iegūstam lodziņu 2 × 1 × 1. Pie tā piestiprināmies tā priekšā, lai saņemtu 2 × 2 × 1 kastīti. Pievienojiet 2 × 2 × 2 lodziņu apakšā, lai izveidotu lodziņu 2 × 2 × 3. Tad jums ir jāturpina šādi: novietot jaunas kastes pāri no sāniem, priekšpuses, apakšas un izvēloties to izmēru, lai divas dimensijas (tās ir sejas, uz kurām nākamā kārba ir piestiprināta) izmēri sakrīt ar pašreizējā kastes mērījumiem, un trešā dimensija ir tā, ko tā mainījusies Mērīšanas divi "pārceļas" pirms. Pirmie soļi ir parādīti 4. attēlā.Piemēram, piektajā "pārvietot" pa labi ir 2 × 2 × 3 kastīte, un tā "garums" (mērījums pa bultiņām šajā attēlā) ir 2, jo divi virzieni pirms kastes izrādījās "platums", kas ir vienāds ar 2 (tas ir labais lodziņš augšējā rindā).

Zīm. 4 "Plastmasas" kastes veidošana. Attēls no V. panta. W. De Spinadel, A. R. Buitrago ceļā uz van der Laāna plastmasas numuru plaknē

Ja jūs turpināsiet šo procesu, kastīšu lielums, protams, palielināsies. Savukārt viņu pusēs ("kaimiņu" garumā, kā parādīts 4. attēlā) būs ierobežots limits, kas ir plastmasas numurs.

Šīs loģikas ideja ir šāda. Ņemiet vērā, ka kastes izmēri ir trīskārši blakus skaitļiem no secības 1, 1, 1, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 12, 16 … Ja mēs apzīmējam nšīs secības dalībnieks Pntad pie n > 3 ir vienlīdzība Pn = Pn−2 + Pn−3. Precīzāk, šī lineārā atkārtošanās attiecība definē šo secību, ko sauc par Padovas secību. Izrādās, ka var izteikt kopēju atkārtotas secības terminu caur tās raksturīgā polinoma saknes. Šīm saitēm jūs varat uzzināt vairāk par šo tēmu, tagad ir svarīgi, lai šai secībai raksturīgais polinoms ir: \ (x ^ 3-x-1 \), un tā reālā sakne, kā zināms, ir plastmasas numurs ρ. Tāpēc, starp citu, šī skaitļa pilnvaru secība ir 1, ρ, ρ2, ρ3, … atbilst vienai un tai pašai atkārtošanās attiecībai (šis novērojums faktiski rada metodi secības termina izteiksšanai caur polinoma saknēm). Šis polinoms ir divas sarežģītas saknes. Ja tos apzīmē ar q un s, tad ar dažām konstantēm a, b, c vienlīdzība Pn = n + bqn + csn būs taisnība ar visiem dabiskiem n. Bet, tā kā sarežģītas saknes q un s ar modulu mazāku par 1, to pakāpieni palielinās līdz nullei n.

Šajā ziņā Padovas secības plastmasas numurs ir tāds pats kā citam (un daudz zināmākam) "arhitektūras" skaitam – zelta sekcijai – Fibonacci sekvencei (un Pell skaitļu sudraba sekcijai).

Vairāk par plastmasas numuru īpašībām var atrast rakstā V. W. De Spinadel, A. R. Buitrago pret van der Laan. Plastmasas numurs plaknē.


Like this post? Please share to your friends:
Atbildēt

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: