V = S = P • Nikolajs Avilovs • Populāras zinātnes problēmas "Elementi" • Matemātika

V = S = P

Uzdevums

Vai tur ir ir izliekta daudzstūris, kura skaitliskās vērtības apjomam, virsmas laukumam un visu malu garuma summai sakrīt?


Padoms

Šāds daudzstūris pastāv, piemēram, starp pareizajiem prizmiem.


Šķīdums

Sekojot mājienam, meklēt piemērotu prizmu. Pareizu prizmu nosaka skaitlis n bāzes daudzstūra malas a un garš h.

Visu tās malu garuma summa ir:

\ [P = 2na + nh. \]

Tā kā bāzes daudzstūris ir regulārs, tā platība, kā to ir viegli atrast, ir \ (\ frac14na ^ 2 \ mathrm % \, \ frac (\ pi) n \). Tagad ir viegli atrast pārējos prisma parametrus, kas parādās problēmā.

Tās apjoms V ir vienāds ar:

\ [V = \ frac14na ^ 2 \ mathrm % \, \ frac (\ pi) n \ cdot h. \]

Virsmas platība S ir vienāds ar:

\ [S = \ frac12na ^ 2 \ mathrm % \, \ frac (\ pi) n + nah. \]

Ārpus vienlīdzības V = S mēs atklājam, ka \ (a \ cdot \ mathrm % \, \ frac {\ pi} n = \ frac % {h-2} \). Tātad h > 2. Jūs varat pārrakstīt arī apjoma izteiksmi formā \ (V = \ frac14na \ cdot \ frac % {h-2} \ cdot h = \ frac {nah ^ 2} (h-2) \).

Ārpus vienlīdzības V = P attiecības \ (a = \ frac {h ^ 2-2h} {h ^ 2-2h + 4} \) un

\ (\ mathrm % \, \ frac {\ pi} n = \ frac % {a (h-2)} = \ frac {4 (h ^ 2-2h + 4)} {(h- ) ^ 2} = 4 + \ frac % {(h-2) ^ 2}. \)

Ir skaidrs, ka funkcija \ (f (x) = \ frac % {(x-2) ^ 2} \) intervālā \ ((0; \; (+ \ infty)) \) ņem visas pozitīvās vērtības neviens cits). Tādēļ nepieciešams un pietiekams nosacījums meklējamā prizmas esamībai ir: nevienādības izpilde \ (\ mathrm (ctg) \, \ frac (\ pi) n> 4 \), kas attiecas uz \ (n> 12 \).


Pēcvārds

Apskatīsim, kas notiek līdzīgā situācijā lidmašīnā. Piemēram, 4 × 4 laukumā lauka un perimetra skaitliskās vērtības ir vienādas. Tajā pašā īpašumā ir 3 × 6 taisnstūris un labais trīsstūris ar kājām 5 un 12 (1. attēls).

Zīm. 1

Kā jūs zināt, taisnstūris nav stingrs skaitlis: ja jūs novietojat eņģes uz tā virsotnēm, tās pašas nemainīsies (piemēram, tas notiek trijstūra vai tetraedra gadījumā). Izmantojot šo, var pierādīt, ka ir paralelograms ar vienādām platības un perimetra vērtībām. Ir viegli atrast taisnstūri, kura platība ir lielāka par perimetru: taisnstūris ar malām 8 un 5. Ja jūs pakāpeniski samazināsiet no taisnstūra taisnā leņķī no 90 ° līdz 0 °, tad, pirmkārt, taisnstūris nekavējoties pārvēršas paralelogramā, perimetrs paliek vienāds ar 26, un, otrkārt, tā platība nepārtraukti samazināsies no 40 līdz 0, un kādā brīdī tas kļūs vienāds ar 26. Tas būs vajadzīgs paralelograms. Šis process tiek parādīts taisnstūra rāmja modelī (2. attēls). Ir skaidrs, ka šādiem paralelogramiem ir bezgalīgi daudz.

Zīm. 2

Mēs parādām, ka ir bezgalīgi daudz trijstūru, kurās teritorijas un perimetra skaitliskās vērtības ir vienādas.Mēs sadalām visus trīsstūrus klasēs, no kuriem katrs satur visus līdzīgus trijstūrus. Izrādās, ka katrā šādā klasē ir trīsstūris, kurā teritorijas un perimetra skaitliskās vērtības ir vienādas. Apsveriet vienu no klases trijstūriem. Ļaujiet tās apgabalam būt S1un perimetrs ir P1, tad līdzīgs trijstūris ar koeficientu k ir apgabals S2 = k2S1 un perimetrs P2 = kP1. Ja tas ir kā līdzības koeficients k = P1/S1tad mēs iegūstam trīsstūri ar \ (S_2 = P_2 = \ frac (P_1 ^ 2) {S_1} \). Kas bija vajadzīgs.

Piemēram, ņem Ēģiptes trīsstūri. Tās perimetrs ir \ (P_1 = 3 + 4 + 5 = 12 \), un apgabals \ (S_1 = \ frac12 \ cdot3 \ cdot4 = 6 \). Tādā pašā trijstūrī ar līdzības koeficientu 2 būs norādītais īpašums: tas ir labais trijstūris ar kājām 6 un 8 (3. att., Pa kreisi). Var uzskatīt arī vienādmalas trijstūri. Starp tiem nepieciešamajam īpašumam ir trīsstūris ar sānu \ (4 \ sqrt % \): tā platība un perimetrs ir vienādi ar \ (12 \ sqrt % \).

Zīm. 3

Līdzīgi argumentējot, var pierādīt, ka katrā klasē līdzīgie daudzstūri ir tādi, kuros apgabala un perimetra skaitliskās vērtības ir vienādas.

Trīsdimensiju telpā ir dabiski pievienot nosacījumu par apjoma vienlīdzību, kā tas tika darīts problēmas izklāstā.No risinājuma ir skaidrs, ka ne katrs "daudzskaitlie" tipi ļauj vienādot tilpumu, virsmas laukumu un kopējo garuma malu: starp pareizo noglekļa prizmas n <12 nav.

Jo īpaši šāds kubs un taisnstūra paralēlskaldnis (jo tie ir četrstūra prizmas) nav. Tomēr šādām daudznozarēm ir viegli izdarīt pārbaudes uz priekšu. Piemēram, kubam tas tiek darīts tāpat. Kubs ar malu a ir apjoms V = a3virsmas laukums S = 6a2 un malu garumu summa P = 12a. Ja S = P, tad 6a2 = 12atas ir a = 2. Bet tad S = P = 24, un V = 8.

Tomēr dažām daudznozarēm var būt līdzīgs apsvērumiem, kas saistīti ar trijstūri. Ja mēs uzskatām, ka visas šīs daudznozares ir šādas, tad malu garuma summa atšķiras proporcionāli līdzības koeficienta pirmajai pakāpei, virsmas platība būs proporcionāla otrajai pakāpei, un apjoms būs proporcionāls trešajam grādam. Proti, problēma samazina uz šo jautājumu: vai attiecīgās līnijas, parabolās un kubos krustojas vienā punktā? Daudzkārtas formas izmaiņas šādā formulējumā atbilst šo līkņu novirzēm plaknē.Un tas ir diezgan skaidrs, ka dažos gadījumos tos var novietot tā, lai tie krustojas vienā punktā. Bet vai ir iespējams kādā veidā saprātīgi aprakstīt visas attiecīgās daudzgadras? … Ja jums ir idejas par šo tēmu – rakstiet komentārus par problēmu!


Like this post? Please share to your friends:
Atbildēt

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: