Ziemassvētku eglītes un laternas • Konstantīns Knops, Evgenijs Epifanovs • Tautas zinātnes uzdevumi "Elementiem" • Matemātika

Ziemassvētku eglītes un laternas

Uzdevums

Jaungada vakara lielajā, ļoti lielajā kvadrātā bija daudzi, daudzi Ziemassvētku eglītes un daudzi, daudzi laternas, un tur bija vairāk koku nekā laternas. Vai tas var izrādās, ka attālumā no 1 metra no katra koka ir tieši 8 gaismas? (Ziemassvētku eglītes un laternas tiek uzskatītas par punktiem, un platība ir plakana.)


1. padoms

Jā, tas var būt.


2. padoms

Mēģiniet vispirms nākt klajā ar risinājumu vienkāršākam gadījumam: kad 1 m attālumā no katra koka ir 2 laternas un koks vairāk nekā laternas.


Šķīdums

Mēs vispirms apspriedīsim vienkāršāku lietu no 2. gala. Novietojiet gaismas kvadrātveida režģī ar 2 m pusi un Ziemassvētku eglītes visu segmentu vidū starp diviem blakus esošajiem gaismiņiem. Ja vienā pusē ir N laternas, tad kopējais laternas būs N2. Yolok ar 2N(N – 1), jo puse no tiem ir uz vertikālajiem segmentiem, un puse – horizontālā. Jau pie N = 3 koki būs vairāk nekā laternas. 1.attēls parāda situāciju, kad N = 5: platībā ir 25 laternas un 40 eglītes.

Zīm. 1

Galvenā uzdevuma risināšanā mēs saglabāsim lampu atrašanās vietu, un gandrīz visi Ziemassvētku eglītes (tie, kas neatbilst nosacījumiem, vienkārši tos noņem no laukuma). Un tad ko var mainīt? Paradoksāli, vislabāk ir mainīt mērvienību, tas ir, skaitītāju. Drīzumā būs skaidrs, kāpēc.

Pieņemsim, ka ir liela platība, uz kuras koki un laternas stāv tādā pašā veidā kā iepriekš aprakstītajā piemērā. Vispirms atbildēsim uz šo jautājumu: vai attiecīgajā Ziemassvētku eglē ir aplītis ar centru, kurā ir tieši 8 laternas? Varam pieņemt, ka šis koks atrodas koordinātu sākumā, un koordinātu asis darbojas paralēli segmentiem, kas savieno tuvākos laternas (ļaujiet abscissa asij iet gar segmentu, uz kura stāv mūsu koks). Tad gaismas būs formas koordinātas (2k + 1, 2l) kur k un l – veseli skaitļi (mēroga mērītājs, ko mēs vēl neesam mainījuši). Saskaņā ar Pitagoru teorēmu, atstatuma laukums no luktura ar koordinātām (2k + 1, 2l) uz koku ir (2k + 1)2 + (2l)2. Šādas summas var būt vienādas viena otrai dažādiem veselu skaitļu pāriem (k, l) Piemēram, 12 + 82 = 72 + 42 = 65. Tas nozīmē, ka gaismas punktos (7, 4) un (1, 8) atrodas vienādos attālumos no koka. Bet tad tajā pašā attālumā no tā ir arī gaismas, kas atrodas punktos (-7,4), (7, -4), (-7, -4), (-1, 8), (1, -8) , (-1, -8), un visi šie lukturi būs precīzi 8 (2. attēlā tie ir redzami zilā krāsā, lai tie būtu skaidrāki, no tiem apvilkt apli). Vispārīgi runājot, mēs neesam pierādījuši, ka no viņiem būs ne vairāk kā astoņi, bet šis vienkāršais uzdevums būs lasītājam patstāvīgs lēmums.

Zīm. 2

Tagad mēs esam gatavi apsolītajai "skaitītāja maiņai". Tagad ļaujiet jauns skaitītājs būs šī apļa rādiuss, par kuru mēs atradām 8 gaismas. Tad visiem Ziemassvētku eglītes, kas ir pietiekami "dziļi kvadrātveida", tiks izpildīts nosacījums par 8 gaismām. Atliek aprēķināt, kas ir "dziļi iekšā". Kokam jābūt tādam, lai pa labi un pa kreisi no tā būtu 7 "vecie metri" un zemāk – 8 "veco metru" laternas. Cik daudz šādu koku ir uz horizontāliem segmentiem, ja luktu skaits laukuma malā ir liels N? Mums jāizņem četru augšējo un apakšējo rindu koki un trīs kreiso un trīs labo vidējo segmentu koki. Tas ir, katrā horizontālajā rindā tagad N – 7 eglīti (un ne N – 1, kā tas bija agrāk), un tagad ir tādas rindas N – 8, nē N. To pašu var teikt par kokiem vertikālajās rindās, tāpēc kopējais koku skaits ir 2 (N − 7)(N – 8). Nevienlīdzība 2 (N − 7)(N − 8)>N2 veikta pie N ≥ 26 (3. att.). Ar šādu N uzdevuma nosacījums tiks izpildīts.

Zīm. 3


Pēcvārds

Ņemiet vērā, ka mūsu risinājumā mēs izmantojām idejas, kas ir tuvu tam, kas tika aplūkoti uzdevuma lokos uz raķešu papīra. Tas sīki apraksta, kā meklēt lokā esošajā kontrolētā plaknē, kas iet caur noteiktu skaitu tīkla mezglu.Mēs arī atzīmējam, ka mūsu uzdevumu var atrisināt citādā veidā: skatiet Quest grāmatas Questbook problēmas M1129 risinājumu.

Kopumā ļoti daudzi ir problēmas, kas saistītas ar ierobežotu punktu skaitu plaknē, kas apmierina noteiktas īpašības. Šķiet, ka visam tam vajadzētu būt "bērnības" jautājumiem, piemēram, mūsu, bet daudzas šādas problēmas izrādās ļoti sarežģītas un profesionāļi matemātiķi ir iesaistīti tajos. Matemātika, kas veltīta līdzīgām problēmām – kombinatoriskajai ģeometrijai – attīstījās visā XX gadsimtā, un Paul Erdos lieliski veicināja šo procesu.

Daudzas kombinatoriskās ģeometrijas problēmas aizrauj tās formulējumu vienkāršību. Piemēram: lai pierādītu, ka, ja ne visi punkti atrodas vienā līnijā, tad ir līnija, kas iet cauri tieši diviem no šiem punktiem. Šī ir Sylvester-Gallai teorēma teorēma, kas jau kādu laiku ir atrisināta. Bet, tā kā tam ir laba problēma, no tā izriet citi jautājumi: jo šī teorēma norāda, ka jābūt vismaz vienai taisnai līnijai, kas iet tieši divos punktos, cik daudz šādu taisnu līniju var būt? Pirms pāris gadiem šim jautājumam veltīts raksts tika publicēts Terence Tao, kas vēlreiz parāda, ka no vienkāršiem jautājumiem līdz zinātnes līderim bieži vien ir diezgan īss ceļš.

Autora problēma un risinājumi: Konstantīns Knops
Postword autors: Evgenijs Epifanovs


Like this post? Please share to your friends:
Atbildēt

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: